Формула

Если даны точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ , то середина $M(x; y)$ отрезка $AB$ имеет координаты

x = \frac{x_1 + x_2}{2},

y = \frac{y_1 + y_2}{2}.

В пространстве третья координата находится так же: $z = \dfrac{z_1 + z_2}{2}$ .

Почему это так? Опустим из точек $A$ , $M$ , $B$ перпендикуляры на ось $Ox$ . Они параллельны, и так как $AM = MB$ , по теореме Фалеса отрезки на оси тоже равны: $x - x_1 = x_2 - x$ . Отсюда $x = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ .

Например, для $A(-3; 5)$ и $B(7; -1)$ получаем $M\left(\dfrac{-3+7}{2}; \dfrac{5+(-1)}{2}\right) = M(2; 2)$ .

Как найти конец отрезка

Часто известны середина и один конец отрезка, а найти нужно другой конец. Из формулы получаем $x_2 = 2x - x_1$ , $y_2 = 2y - y_1$ : удваиваем координату середины и вычитаем координату известного конца.

Это же правило даёт точку, симметричную данной относительно другой точки: точка, симметричная $A$ относительно $M$ , — это $B(2x_M - x_A; 2y_M - y_A)$ . Например, точка, симметричная $A(1; 4)$ относительно $M(3; -2)$ , имеет координаты $(5; -8)$ .

Параллелограмм, медиана и точка пересечения медиан

Параллелограмм. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому середины диагоналей $AC$ и $BD$ совпадают:

x_A + x_C = x_B + x_D,

y_A + y_C = y_B + y_D.

Отсюда находится четвёртая вершина: $D = A + C - B$ (по каждой координате).

Медиана. Чтобы найти длину медианы треугольника, сначала находим середину противоположной стороны, а затем применяем формулу расстояния между двумя точками.

Точка пересечения медиан $G$ делит каждую медиану в отношении $2:1$ , считая от вершины. Её координаты равны средним арифметическим координат вершин:

G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right).

Окружность. Если даны концы диаметра, то центр окружности — середина этого диаметра.

Типичные вопросы

Середина лежит на оси. Если середина отрезка $AB$ лежит на оси $Ox$ , то $y_1 + y_2 = 0$ ; если на оси $Oy$ , то $x_1 + x_2 = 0$ .
Деление отрезка на 4 равные части. Сначала находим середину $M$ отрезка $AB$ , затем середины отрезков $AM$ и $MB$ .
Неизвестный параметр. Например, если $A(a; 3)$ , $B(5; b)$ , а середина $M(1; -2)$ , то $\dfrac{a+5}{2} = 1$ и $\dfrac{3+b}{2} = -2$ , то есть $a = -3$ , $b = -7$ .

Запомните

Середина отрезка: $x = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ , $y = \dfrac{y_1 + y_2}{2}$ (в пространстве так же находится $z$ ).
Второй конец отрезка: $x_2 = 2x - x_1$ , $y_2 = 2y - y_1$ .
Точка, симметричная $A$ относительно $M$ : $(2x_M - x_A; 2y_M - y_A)$ .
В параллелограмме $ABCD$ : $A + C = B + D$ (по каждой координате).
Координаты точки пересечения медиан равны средним арифметическим координат вершин треугольника.

Разобранные примеры

Пример 1
Вершины треугольника: $A(1; 2)$ , $B(5; 4)$ , $C(3; -6)$ . Найдите длину медианы, проведённой из вершины $A$ , и координаты точки пересечения медиан.
Решение
1. Медиана проводится к середине стороны $BC$ : $M\left(\dfrac{5+3}{2}; \dfrac{4+(-6)}{2}\right) = M(4; -1)$ .
2. $AM = \sqrt{(4-1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$ .
3. Точка пересечения медиан: $G\left(\dfrac{1+5+3}{3}; \dfrac{2+4-6}{3}\right) = G(3; 0)$ .
4. Проверка: $G$ должна делить медиану $AM$ в отношении $2:1$ , считая от $A$ . По $x$ : $1 + \dfrac{2}{3} \cdot (4 - 1) = 3$ ; по $y$ : $2 + \dfrac{2}{3} \cdot (-1 - 2) = 0$ . Всё сходится.
Ответ: $AM = 3\sqrt{2}$ , $G(3; 0)$ .
Пример 2
Даны три вершины параллелограмма $ABCD$ : $A(-2; 1)$ , $B(1; 5)$ , $C(7; 3)$ . Найдите вершину $D$ и точку пересечения диагоналей.
Решение
1. Диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, точка пересечения $O$ — середина диагонали $AC$ : $O\left(\dfrac{-2+7}{2}; \dfrac{1+3}{2}\right) = O(2{,}5; 2)$ .
2. $O$ — также середина диагонали $BD$ : $x_D = 2 \cdot 2{,}5 - 1 = 4$ , $y_D = 2 \cdot 2 - 5 = -1$ .
3. Проверка по формуле $D = A + C - B$ : $(-2 + 7 - 1; 1 + 3 - 5) = (4; -1)$ .
Ответ: $D(4; -1)$ , $O(2{,}5; 2)$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Даны точки $A(3; -2; 5)$ и $B(-1; 4; 1)$ . Найдите координаты середины отрезка $AB$ .
1. $(2; 2; 6)$
2. $(1; 1; 3)$
3. $(4; -6; 4)$
4. $(1; 3; 3)$
5. $(-2; 3; -2)$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $(1; 1; 3)$
$x = \dfrac{3 + (-1)}{2} = 1$ , $y = \dfrac{-2 + 4}{2} = 1$ , $z = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$ . ( $(2; 2; 6)$ получится, если забыть разделить на 2.)
Точка $M(2; -1)$ — середина отрезка $AB$ , $A(-3; 4)$ . Найдите координаты точки $B$ .
1. $(-0{,}5; 1{,}5)$
2. $(5; -5)$
3. $(-8; 9)$
4. $(7; -6)$
5. $(-1; 3)$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $(7; -6)$
$x_B = 2 \cdot 2 - (-3) = 7$ , $y_B = 2 \cdot (-1) - 4 = -6$ . Проверка: $\dfrac{-3 + 7}{2} = 2$ , $\dfrac{4 + (-6)}{2} = -1$ . ( $(-0{,}5; 1{,}5)$ — середина отрезка $AM$ , а $(-8; 9)$ — точка, симметричная $M$ относительно $A$ .)
Точки $A(-1; 3)$ и $B(5; -5)$ — концы диаметра окружности. Найдите центр и радиус окружности.
1. $O(2; -1)$ , $R = 5$
2. $O(2; -1)$ , $R = 10$
3. $O(3; -4)$ , $R = 5$
4. $O(4; -2)$ , $R = 10$
5. $O(2; -1)$ , $R = 25$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $O(2; -1)$ , $R = 5$
Центр — середина диаметра: $O\left(\dfrac{-1+5}{2}; \dfrac{3+(-5)}{2}\right) = O(2; -1)$ . Диаметр $AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ , радиус равен его половине: $R = 5$ .

Типичные ошибки

Вычитать координаты вместо сложения: $\dfrac{x_2 - x_1}{2}$ — это не координата середины, а половина проекции отрезка на ось $Ox$ .
Находя конец отрезка, брать середину между известным концом и серединой. Правильно: $x_2 = 2x - x_1$ , $y_2 = 2y - y_1$ .
Не учитывать порядок вершин параллелограмма: в $ABCD$ противоположные вершины $A$ и $C$ , $B$ и $D$ , поэтому $D = A + C - B$ , а не $A + B - C$ . Часто ошибаются и в знаках при отрицательных координатах.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото