Декартова система координат на плоскости и в пространстве

На плоскости проводят две числовые оси, пересекающиеся под прямым углом: горизонтальную ось абсцисс $Ox$ и вертикальную ось ординат $Oy$. Точка их пересечения $O$ называется началом координат, на обеих осях берут одинаковый единичный отрезок.

Каждой точке соответствует пара чисел: $M(x; y)$. Первое число $x$ называется абсциссой, второе $y$ ординатой. Порядок важен: $(2; 5)$ и $(5; 2)$ — разные точки.

Чтобы найти координаты точки, из неё опускают перпендикуляры на оси. Основанию перпендикуляра на оси $Ox$ соответствует абсцисса точки, а основанию перпендикуляра на оси $Oy$ соответствует её ордината. Наоборот, чтобы построить точку по паре $(x; y)$, откладывают $x$ на оси $Ox$ и $y$ на оси $Oy$ и проводят через эти точки прямые, перпендикулярные осям: их пересечение и есть нужная точка.

• У точек оси $Ox$ ордината равна нулю, например $(4; 0)$.
• У точек оси $Oy$ абсцисса равна нулю, например $(0; -3)$.
• Начало координат: $O(0; 0)$.

Оси делят плоскость на четыре четверти:

• I четверть: $x > 0,\ y > 0$;
• II четверть: $x < 0,\ y > 0$;
• III четверть: $x < 0,\ y < 0$;
• IV четверть: $x > 0,\ y < 0$.

Точки, лежащие на осях, не принадлежат ни одной четверти.

Точки, симметричные точке $M(x; y)$:

• относительно оси $Ox$: $(x; -y)$;
• относительно оси $Oy$: $(-x; y)$;
• относительно начала координат: $(-x; -y)$.

Расстояние от точки $M(x; y)$ до оси $Ox$ равно $|y|$, а до оси $Oy$ равно $|x|$.

В пространстве берут три попарно перпендикулярные оси с общим началом: $Ox$ (ось абсцисс), $Oy$ (ось ординат) и $Oz$ (ось аппликат). Точка задаётся тремя числами: $M(x; y; z)$.

Каждые две оси задают координатную плоскость:

• у точек плоскости $Oxy$ координата $z = 0$;
• у точек плоскости $Oxz$ координата $y = 0$;
• у точек плоскости $Oyz$ координата $x = 0$.

Точки оси $Oz$ имеют вид $(0; 0; z)$. Проекция точки $M(x; y; z)$ на плоскость $Oxy$ есть точка $(x; y; 0)$.

Для точки $M(x; y; z)$:

• расстояние до плоскости $Oxy$ равно $|z|$, до $Oxz$ равно $|y|$, до $Oyz$ равно $|x|$;
• расстояние до оси $Oz$ равно $\sqrt{x^2 + y^2}$: берут две координаты, которые к этой оси не относятся;
• расстояние до начала координат равно $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Правила симметрии:

• относительно плоскости $Oxy$: $(x; y; -z)$, меняется знак только координаты, перпендикулярной плоскости;
• относительно оси $Ox$: $(x; -y; -z)$, координата самой оси сохраняется, две другие меняют знак;
• относительно начала координат: $(-x; -y; -z)$.