Прямоугольник, квадрат и параллелограмм

Прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ : $S = ab$ .
Квадрат со стороной $a$ : $S = a^2$ ; через диагональ $d$ : $S = \dfrac{d^2}{2}$ .
Параллелограмм: $S = a h_a$ , где $h_a$ — высота, проведённая к стороне $a$ . Если известны две стороны и угол между ними, то $S = ab\sin\alpha$ .

Формула для параллелограмма получается из прямоугольника: опустим высоту из вершины и перенесём отрезанный прямоугольный треугольник к противоположной стороне — получится прямоугольник с основанием $a$ и высотой $h_a$ . У параллелограмма две высоты, и $a h_a = b h_b$ : к меньшей стороне проведена большая высота.

Треугольник

Любой треугольник — половина параллелограмма с тем же основанием и той же высотой, поэтому

S = \frac{1}{2} a h_a.

Другие формулы:

по двум сторонам и углу между ними: $S = \dfrac{1}{2} ab\sin C$ ;
формула Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$ — полупериметр;
через радиус вписанной окружности: $S = pr$ ;
через радиус описанной окружности: $S = \dfrac{abc}{4R}$ ;
прямоугольный треугольник: $S = \dfrac{1}{2} ab$ ( $a$ , $b$ — катеты);
равносторонний треугольник: $S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .

Полезное следствие: площади треугольников с равными высотами относятся как их основания. Например, медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Ромб и трапеция

Ромб — это параллелограмм, поэтому $S = ah = a^2\sin\alpha$ . Диагонали ромба перпендикулярны, отсюда

S = \frac{d_1 d_2}{2}.

Эта формула верна для любого выпуклого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями. В общем случае площадь выпуклого четырёхугольника равна $S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi$ , где $\varphi$ — угол между диагоналями.

Трапеция с основаниями $a$ , $b$ и высотой $h$ :

S = \frac{a+b}{2} \cdot h = m h,

где $m = \dfrac{a+b}{2}$ — средняя линия трапеции. Формула получается, если разбить трапецию диагональю на два треугольника: $\dfrac{1}{2}ah + \dfrac{1}{2}bh$ .

Произвольный многоугольник

Чтобы найти площадь произвольного многоугольника, его разбивают на неперекрывающиеся треугольники (или прямоугольники, трапеции) и складывают их площади. Диагонали, проведённые из одной вершины, разбивают выпуклый $n$ -угольник на $n-2$ треугольника.

Иногда удобнее вычитать: поместить фигуру в прямоугольник и отнять площади лишних треугольников.

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, $S = pr$ ( $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности). Правильный шестиугольник со стороной $a$ состоит из 6 равносторонних треугольников: $S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$ .

Запомните

Прямоугольник: $S = ab$ ; квадрат: $S = a^2 = \dfrac{d^2}{2}$ ; параллелограмм: $S = ah_a = ab\sin\alpha$ .
Треугольник: $S = \dfrac{1}{2}ah_a = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = pr = \dfrac{abc}{4R}$ .
Ромб: $S = \dfrac{d_1 d_2}{2} = a^2\sin\alpha$ .
Трапеция: $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$ , то есть произведение средней линии на высоту.
Площадь многоугольника находят, разбивая его на треугольники и складывая их площади.

Разобранные примеры

Пример 1
Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите его площадь, высоту, проведённую к стороне длиной 14, и радиус вписанной окружности.
Решение
1. Полупериметр: $p = \dfrac{13 + 14 + 15}{2} = 21$ .
2. По формуле Герона: $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ .
3. Высота: $h = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{168}{14} = 12$ .
4. Радиус вписанной окружности: $r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{84}{21} = 4$ .
Ответ: 84; 12; 4.
Пример 2
Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 16, боковая сторона равна 13. Найдите площадь трапеции.
Решение
1. Опустим высоты из концов меньшего основания. Они отсекают от большего основания два равных отрезка: $\dfrac{16 - 6}{2} = 5$ .
2. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой 13 и катетом 5: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ .
3. $S = \dfrac{6 + 16}{2} \cdot 12 = 11 \cdot 12 = 132$ .
Ответ: 132.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Сторона ромба равна 10, одна из его диагоналей равна 12. Найдите площадь ромба.
1. 48
2. 60
3. 96
4. 120
5. 192
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 96
Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Половина второй диагонали: $\sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ , значит, $d_2 = 16$ . $S = \dfrac{12 \cdot 16}{2} = 96$ . (192 получится, если забыть разделить на 2, а 48 — если перемножить половины диагоналей.)
Стороны параллелограмма равны 8 и 6. Высота, проведённая к стороне 8, равна 3. Найдите высоту, проведённую к стороне 6.
1. 2
2. 3
3. 3,5
4. 4
5. 4,5
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D 4
$S = 8 \cdot 3 = 24$ , тогда $h_b = \dfrac{24}{6} = 4$ . К меньшей стороне проведена большая высота.
Диагонали выпуклого четырёхугольника равны 10 и 12, угол между ними $30^\circ$ . Найдите площадь четырёхугольника.
1. 30
2. $30\sqrt{3}$
3. 60
4. $60\sqrt{3}$
5. 120
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A 30
$S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \dfrac{1}{2} = 30$ . (60 получится, если забыть множитель $\sin 30^\circ$ , а $30\sqrt{3}$ — если взять косинус вместо синуса.)

Типичные ошибки

Считать площадь параллелограмма как произведение сторон: $ab$ верно только для прямоугольника, для параллелограмма нужно $ab\sin\alpha$ или $ah_a$ .
В формуле ромба забывать делить на 2 или перемножать половины диагоналей: правильно $S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$ .
Подставлять в формулу Герона периметр вместо полупериметра, а в формулу трапеции — боковую сторону вместо высоты.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото