Что такое площадь

Каждому многоугольнику или кругу ставится в соответствие положительное число: его площадь. Чтобы измерять площадь, выбирают единицу: квадрат со стороной 1 (единичный квадрат). Площадь фигуры показывает, сколько единичных квадратов (и их частей) в ней помещается.

Например, прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см можно разбить на 3 ряда по 5 единичных квадратов. Значит, его площадь равна $5 \cdot 3 = 15$ см². Отсюда формула площади прямоугольника: $S = ab$ , а для квадрата $S = a^2$ .

Основные свойства площади

Равные фигуры имеют равные площади. Если одну фигуру можно наложить на другую так, что они совпадут, их площади одинаковы.
Площадь складывается. Если фигура разбита на части, которые не перекрываются, её площадь равна сумме площадей частей.
Площадь квадрата со стороной 1 равна одной квадратной единице.

Обратите внимание: фигуры с равными площадями (равновеликие) не обязательно равны. Прямоугольник 2 на 8 и квадрат со стороной 4 имеют одинаковую площадь 16, но это разные фигуры.

Второе свойство даёт главный приём для сложных фигур: разбиваем фигуру на прямоугольники и складываем их площади или достраиваем её до большого прямоугольника и вычитаем лишнее.

Единицы площади и их перевод

Когда единица длины увеличивается в 10 раз, единица площади увеличивается в $10^2 = 100$ раз, ведь растут обе стороны квадрата:

1 см² = 100 мм²
1 дм² = 100 см²
1 м² = 100 дм² = 10 000 см²
1 км² = 1 000 000 м²

Для земельных участков используют особые единицы:

1 ар (сотка) = 100 м², это квадрат со стороной 10 м;
1 гектар (га) = 10 000 м² = 100 ар, это квадрат со стороной 100 м;
1 км² = 100 га.

Как меняется площадь при изменении размеров

Если все линейные размеры фигуры увеличить в $k$ раз, площадь увеличится в $k^2$ раз. Сторону квадрата увеличили в 3 раза, значит, площадь выросла в 9 раз. Рассуждать можно и в обратную сторону: если площадь выросла в 25 раз, то линейные размеры увеличились в $\sqrt{25} = 5$ раз.

При изменении в процентах проценты не складывают, а перемножают коэффициенты. Если длину прямоугольника увеличить на 20%, а ширину уменьшить на 20%, новая площадь составит $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$ от старой. Площадь не остаётся прежней, а уменьшается на 4%.

Запомните

Площадь всегда положительна и измеряется в квадратных единицах (см², м², га).
Равные фигуры имеют равные площади; обратное неверно.
Если фигура разбита на неперекрывающиеся части, её площадь равна сумме площадей частей.
Прямоугольник: $S = ab$ ; квадрат: $S = a^2$ .
1 м² = 10 000 см²; 1 га = 10 000 м²; 1 ар = 100 м².
При увеличении линейных размеров в $k$ раз площадь растёт в $k^2$ раз.

Разобранные примеры

Пример 1
Земельный участок имеет форму прямоугольника длиной 250 м и шириной 80 м. Выразите его площадь в гектарах.
Решение
1. Находим площадь в квадратных метрах: $S = 250 \cdot 80 = 20\,000$ м².
2. Так как 1 га = 10 000 м², получаем $20\,000 : 10\,000 = 2$ .
Ответ: 2 га.
Пример 2
Длину прямоугольника увеличили на 20%, а ширину уменьшили на 20%. Как изменилась его площадь?
Решение
1. Пусть исходные стороны $a$ и $b$ , тогда $S = ab$ .
2. Новая длина $1{,}2a$ , новая ширина $0{,}8b$ .
3. Новая площадь: $S_1 = 1{,}2a \cdot 0{,}8b = 0{,}96ab = 0{,}96S$ .
4. Разница: $S - 0{,}96S = 0{,}04S$ , то есть площадь уменьшилась на 4%.
Ответ: площадь уменьшилась на 4%.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Сколько квадратных метров в 3,5 га?
1. 35 м²
2. 350 м²
3. 3 500 м²
4. 35 000 м²
5. 350 000 м²
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D 35 000 м²
1 га = 10 000 м², поэтому $3{,}5 \cdot 10\,000 = 35\,000$ м².
Из угла прямоугольника размером 12 см на 8 см вырезали квадрат со стороной 3 см. Найдите площадь оставшейся фигуры.
1. 84 см²
2. 87 см²
3. 90 см²
4. 93 см²
5. 96 см²
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 87 см²
По свойству сложения площадей: $12 \cdot 8 - 3^2 = 96 - 9 = 87$ см².
Сторону квадрата увеличили на 30%. На сколько процентов увеличилась его площадь?
1. 30%
2. 60%
3. 69%
4. 90%
5. 169%
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 69%
Новая сторона $1{,}3a$ , новая площадь $(1{,}3a)^2 = 1{,}69a^2$ . Площадь выросла на $0{,}69a^2$ , то есть на 69%.

Типичные ошибки

Переводить квадратные метры в квадратные сантиметры умножением на 100. Правильно: 1 м² = 10 000 см², так как 1 м = 100 см и $100^2 = 10\,000$ .
Считать, что при увеличении стороны в $k$ раз площадь тоже растёт в $k$ раз. На самом деле в $k^2$ раз.
Складывать проценты: увеличение длины на 20% и уменьшение ширины на 20% не сохраняет площадь, потому что коэффициенты перемножаются: $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$ .

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото