Замкнутая ломаная

Ломаная, у которой концы совпадают, называется замкнутой. Если последовательно соединить вершины $A_1,\ A_2,\ \ldots,\ A_n$, а затем последнюю вершину $A_n$ снова соединить с первой $A_1$, получится замкнутая ломаная $A_1A_2\ldots A_nA_1$.

Звенья замкнутой ломаной:

Последнее звено $A_nA_1$ замыкает линию. Поэтому у замкнутой ломаной число звеньев равно числу вершин: $n$ вершин, $n$ звеньев. У незамкнутой ломаной звеньев на одно меньше, чем вершин.

Как и в обычной ломаной, соседние звенья не лежат на одной прямой. Поэтому у замкнутой ломаной не меньше 3 вершин; замкнутая ломаная с 3 вершинами является границей треугольника.

Замкнутая ломаная, у которой несмежные звенья не имеют общих точек, то есть ломаная без самопересечений, называется простой. Например, граница квадрата — простая замкнутая ломаная. Если вершины $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ правильного пятиугольника соединить в порядке $ACEBDA$, получится пятиконечная звезда: это тоже замкнутая ломаная, но не простая, так как её звенья пересекаются.

Простая замкнутая ломаная делит плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Она приводит к понятию многоугольника: вершины ломаной становятся вершинами многоугольника, а звенья — его сторонами. Простая замкнутая ломаная из $n$ звеньев является границей $n$-угольника.

Длина замкнутой ломаной равна сумме длин всех её звеньев. Для многоугольника это число — его периметр. Если все $n$ звеньев равны $a$, то длина равна $L=na$.

Основное свойство: каждое звено замкнутой ломаной меньше суммы длин остальных звеньев. Например, для $ABCDA$ получаем $AD < AB+BC+CD$, потому что ломаная $ABCD$ соединяет точки $A$ и $D$, а её длина не может быть меньше отрезка $AD$. Равенство было бы возможно, только если бы все вершины лежали на одной прямой, а это противоречит определению ломаной. Для треугольника это свойство и есть неравенство треугольника.

Практическое правило: чтобы из данных отрезков можно было составить замкнутую ломаную, наибольший отрезок должен быть меньше суммы остальных. Если условие выполнено, такую ломаную построить можно. Например, из отрезков 2, 3, 4 и 8 см можно ($8<9$), а из отрезков 2, 3, 4 и 9 см нельзя ($9=9$).

Если на клетчатой бумаге звенья идут по сторонам клеток, длину находят подсчётом клеток. Например, граница прямоугольника $3\times2$ клетки — замкнутая ломаная из 4 звеньев, её длина $3+2+3+2=10$ клеток.