Tərif

Ucları üst-üstə düşən sınıq xəttə qapalı sınıq xətt deyilir. $A_1,\ A_2,\ \ldots,\ A_n$ təpələrini ardıcıl birləşdirib, sonuncu $A_n$ təpəsini yenidən birinci $A_1$ təpəsi ilə birləşdirsək, $A_1A_2\ldots A_nA_1$ qapalı sınıq xətti alınır.

Qapalı sınıq xəttin həlqələri bunlardır:

A_1A_2,\ A_2A_3,\ \ldots,\ A_{n-1}A_n,\ A_nA_1.

Son həlqə $A_nA_1$ xətti qapayır. Ona görə qapalı sınıq xəttdə həlqələrin sayı təpələrin sayına bərabərdir: $n$ təpə, $n$ həlqə. Qapalı olmayan sınıq xəttdə isə həlqələr təpələrdən bir azdır.

Adi sınıq xəttdə olduğu kimi, qonşu həlqələr bir düz xətt üzərində yerləşmir. Buna görə qapalı sınıq xəttin ən azı 3 təpəsi olur; 3 təpəli qapalı sınıq xətt üçbucağın sərhədidir.

Sadə qapalı sınıq xətt və çoxbucaqlı

Qonşu olmayan həlqələrinin ortaq nöqtəsi olmayan, yəni öz-özünü kəsməyən qapalı sınıq xəttə sadə qapalı sınıq xətt deyilir. Məsələn, kvadratın sərhədi sadədir. Düzgün beşbucaqlının $ABCDE$ təpələrini $ACEBDA$ ardıcıllığı ilə birləşdirsək, beşguşəli ulduz alınır: bu da qapalı sınıq xəttdir, lakin sadə deyil, çünki onun həlqələri bir-birini kəsir.

Sadə qapalı sınıq xətt müstəvini iki hissəyə ayırır: daxili və xarici. Belə xətt çoxbucaqlı anlayışına aparır: sınıq xəttin təpələri çoxbucaqlının təpələri, həlqələri isə onun tərəfləri olur. $n$ həlqəli sadə qapalı sınıq xətt $n$ -bucaqlının sərhədidir.

Uzunluq və əsas bərabərsizlik

Qapalı sınıq xəttin uzunluğu bütün həlqələrinin uzunluqlarının cəmidir. Çoxbucaqlı üçün bu ədəd onun perimetridir. Bütün $n$ həlqə $a$ -ya bərabərdirsə, uzunluq $L=na$ olur.

Əsas xassə: qapalı sınıq xəttin hər həlqəsi qalan həlqələrin uzunluqlarının cəmindən kiçikdir. Məsələn, $ABCDA$ üçün $AD < AB+BC+CD$ , çünki $ABCD$ sınıq xətti $A$ və $D$ nöqtələrini birləşdirir, onun uzunluğu isə $AD$ parçasından kiçik ola bilməz. Bərabərlik yalnız bütün təpələr bir düz xətt üzərində olduqda mümkün olardı, bu da sınıq xəttin tərifinə ziddir. Üçbucaq üçün bu xassə üçbucaq bərabərsizliyidir.

Praktik qayda: verilmiş parçalardan qapalı sınıq xətt qurmaq üçün ən böyük parça qalanların cəmindən kiçik olmalıdır. Bu şərt ödənirsə, belə sınıq xətt qurmaq olar. Məsələn, 2, 3, 4 və 8 sm-lik parçalardan qurmaq olar ( $8<9$ ), 2, 3, 4 və 9 sm-lik parçalardan isə olmaz ( $9=9$ ).

Damalı kağızda həlqələr damaların tərəfləri boyunca gedirsə, uzunluq damaları saymaqla tapılır. Məsələn, $3\times2$ ölçülü düzbucaqlının sərhədi 4 həlqəli qapalı sınıq xəttdir və onun uzunluğu $3+2+3+2=10$ damadır.

Yadda saxla

Qapalı sınıq xəttin ucları üst-üstə düşür: $A_1A_2\ldots A_nA_1$ .
Qapalı sınıq xəttdə həlqələrin sayı təpələrin sayına bərabərdir; ən azı 3 həlqə olur.
Uzunluq həlqələrin uzunluqlarının cəmidir; çoxbucaqlı üçün bu, perimetrdir.
Hər həlqə qalan həlqələrin cəmindən kiçikdir; ən böyük həlqəni yoxlamaq kifayətdir.
Öz-özünü kəsməyən (sadə) qapalı sınıq xətt çoxbucaqlının sərhədidir.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
$ABCDEA$ qapalı sınıq xəttinin həlqələri $AB:BC:CD:DE:EA=1:2:2:3:4$ nisbətindədir, uzunluğu isə 36 sm-dir. Ən uzun həlqəni tapın. Bu sınıq xəttin neçə təpəsi var?
Həlli
1. Həlqələr: $x$ , $2x$ , $2x$ , $3x$ , $4x$ . Cəmi: $12x=36$ , $x=3$ .
2. Ən uzun həlqə: $EA=4\cdot3=12$ sm.
3. Yoxlama: $12<3+6+6+9=24$ , əsas bərabərsizlik ödənir.
4. Təpələr $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ -dir, yəni 5; qapalı sınıq xəttdə bu, həlqələrin sayına bərabərdir.
Cavab: 12 sm; 5 təpə.
Misal 2
Dörd həlqəli qapalı sınıq xəttin üç həlqəsi 2 sm, 3 sm və 10 sm-dir. Dördüncü həlqənin uzunluğu santimetrlə tam ədəddirsə, onun ala biləcəyi ən kiçik və ən böyük qiymətləri tapın.
Həlli
Dördüncü həlqə $x$ sm olsun. Hər həlqə qalanların cəmindən kiçik olmalıdır.
1. 10 sm-lik həlqə üçün: $10<2+3+x$ , buradan $x>5$ .
2. $x$ üçün: $x<2+3+10$ , yəni $x<15$ .
3. 2 və 3 sm-lik həlqələr üçün şərtlər ( $2<13+x$ , $3<12+x$ ) həmişə ödənir.
4. Deməli, $5 < x < 15$ ; tam qiymətlər: $6,\ 7,\ \ldots,\ 14$ .
Cavab: ən kiçik qiymət 6 sm, ən böyük qiymət 14 sm.

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Qapalı sınıq xəttin 8 təpəsi var. Onun neçə həlqəsi var?
1. 7
2. 9
3. 8
4. 16
5. 4
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C 8
Qapalı sınıq xəttdə son təpə birinci ilə birləşir, ona görə həlqələrin sayı təpələrin sayına bərabərdir: 8. 7 cavabı qapalı olmayan sınıq xətt üçündür.
Qapalı sınıq xəttin bütün həlqələri 6 sm-dir, uzunluğu isə 42 sm-dir. Onun neçə təpəsi var?
1. 6
2. 8
3. 5
4. 7
5. 36
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D 7
Həlqələrin sayı: $42:6=7$ . Qapalı sınıq xəttdə təpələrin sayı da 7-dir.
Uzunluqları aşağıda verilən parçaların hansından qapalı sınıq xətt qurmaq olar?
1. 1 sm, 2 sm, 3 sm, 7 sm
2. 2 sm, 3 sm, 4 sm, 8 sm
3. 3 sm, 4 sm, 5 sm, 12 sm
4. 1 sm, 1 sm, 1 sm, 4 sm
5. 2 sm, 2 sm, 3 sm, 8 sm
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B 2 sm, 3 sm, 4 sm, 8 sm
Ən böyük parça qalanların cəmindən kiçik olmalıdır. B: $8<2+3+4=9$ . A: $7>6$ ; C: $12=12$ ; D: $4>3$ ; E: $8>7$ .

Tipik səhvlər

Qapalı sınıq xəttin həlqələrini qapalı olmayan xətt kimi saymaq, yəni həlqələrin sayını təpələrin sayından 1 az götürmək.
Bərabərsizliyi ciddi olmayan kimi götürmək: ən böyük parça qalanların cəminə bərabərdirsə, bütün nöqtələr bir düz xəttə düşür və qapalı sınıq xətt alınmır.
Hər qapalı sınıq xətti çoxbucaqlının sərhədi saymaq: öz-özünü kəsən xətt, məsələn, ulduz sadə deyil.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et