Düzbucaqlı, kvadrat və paraleloqram

Düzbucaqlı: tərəfləri $a$ və $b$ olarsa, $S = ab$ .
Kvadrat: tərəfi $a$ olarsa, $S = a^2$ ; diaqonalı $d$ verilərsə, $S = \dfrac{d^2}{2}$ .
Paraleloqram: $S = a h_a$ , burada $h_a$ — $a$ tərəfinə endirilmiş hündürlükdür. İki tərəf və onlar arasındakı bucaq verilərsə, $S = ab\sin\alpha$ .

Paraleloqramın düsturu düzbucaqlıdan alınır: təpədən hündürlük endirib ayrılan düzbucaqlı üçbucağı qarşı tərəfə köçürsək, oturacağı $a$ , hündürlüyü $h_a$ olan düzbucaqlı alınır. Paraleloqramın iki hündürlüyü var və $a h_a = b h_b$ : kiçik tərəfə böyük hündürlük endirilir.

Üçbucaq

Hər üçbucaq oturacağı və hündürlüyü eyni olan paraleloqramın yarısıdır, ona görə

S = \frac{1}{2} a h_a.

Digər düsturlar:

iki tərəf və onlar arasındakı bucaqla: $S = \dfrac{1}{2} ab\sin C$ ;
Heron düsturu: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , burada $p = \dfrac{a+b+c}{2}$ yarımperimetrdir;
daxilə çəkilmiş çevrənin radiusu ilə: $S = pr$ ;
xaricə çəkilmiş çevrənin radiusu ilə: $S = \dfrac{abc}{4R}$ ;
düzbucaqlı üçbucaq: $S = \dfrac{1}{2} ab$ ( $a$ , $b$ — katetlər);
bərabərtərəfli üçbucaq: $S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .

Faydalı nəticə: hündürlükləri bərabər olan üçbucaqların sahələrinin nisbəti oturacaqlarının nisbətinə bərabərdir. Məsələn, median üçbucağı sahələri bərabər olan iki üçbucağa bölür.

Romb və trapesiya

Romb paraleloqramdır, ona görə $S = ah = a^2\sin\alpha$ . Rombun diaqonalları perpendikulyardır, buradan

S = \frac{d_1 d_2}{2}.

Bu düstur diaqonalları perpendikulyar olan istənilən qabarıq dördbucaqlı üçün doğrudur. Ümumi halda qabarıq dördbucaqlının sahəsi $S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi$ -dir, burada $\varphi$ diaqonallar arasındakı bucaqdır.

Trapesiya: oturacaqları $a$ , $b$ , hündürlüyü $h$ olarsa,

S = \frac{a+b}{2} \cdot h = m h,

burada $m = \dfrac{a+b}{2}$ trapesiyanın orta xəttidir. Düstur trapesiyanı diaqonalla iki üçbucağa bölməklə alınır: $\dfrac{1}{2}ah + \dfrac{1}{2}bh$ .

İxtiyari çoxbucaqlı

İxtiyari çoxbucaqlının sahəsini tapmaq üçün onu bir-birini örtməyən üçbucaqlara (və ya düzbucaqlılara, trapesiyalara) bölüb sahələri toplayırıq. Qabarıq $n$ -bucaqlını bir təpədən çəkilən diaqonallar $n-2$ üçbucağa bölür.

Bəzən çıxmaq daha rahatdır: fiquru düzbucaqlının içinə yerləşdirib artıq üçbucaqların sahələrini çıxırıq.

Daxilinə çevrə çəkilə bilən istənilən çoxbucaqlı üçün $S = pr$ ( $p$ — yarımperimetr, $r$ — daxilə çəkilmiş çevrənin radiusu). Tərəfi $a$ olan düzgün altıbucaqlı 6 bərabərtərəfli üçbucaqdan ibarətdir: $S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$ .

Yadda saxla

Düzbucaqlı: $S = ab$ ; kvadrat: $S = a^2 = \dfrac{d^2}{2}$ ; paraleloqram: $S = ah_a = ab\sin\alpha$ .
Üçbucaq: $S = \dfrac{1}{2}ah_a = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = pr = \dfrac{abc}{4R}$ .
Romb: $S = \dfrac{d_1 d_2}{2} = a^2\sin\alpha$ .
Trapesiya: $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$ , yəni orta xəttin hündürlüyə hasili.
Çoxbucaqlının sahəsi onu üçbucaqlara bölüb sahələri toplamaqla tapılır.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
Üçbucağın tərəfləri 13, 14 və 15-dir. Onun sahəsini, uzunluğu 14 olan tərəfə endirilmiş hündürlüyü və daxilə çəkilmiş çevrənin radiusunu tapın.
Həlli
1. Yarımperimetr: $p = \dfrac{13 + 14 + 15}{2} = 21$ .
2. Heron düsturu ilə: $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ .
3. Hündürlük: $h = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{168}{14} = 12$ .
4. Daxilə çəkilmiş çevrənin radiusu: $r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{84}{21} = 4$ .
Cavab: 84; 12; 4.
Misal 2
Bərabəryanlı trapesiyanın oturacaqları 6 və 16, yan tərəfi 13-dür. Trapesiyanın sahəsini tapın.
Həlli
1. Kiçik oturacağın uclarından hündürlüklər endirək. Onlar böyük oturacaqdan iki bərabər parça ayırır: $\dfrac{16 - 6}{2} = 5$ .
2. Hipotenuzu 13, kateti 5 olan düzbucaqlı üçbucaqdan: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ .
3. $S = \dfrac{6 + 16}{2} \cdot 12 = 11 \cdot 12 = 132$ .
Cavab: 132.

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Rombun tərəfi 10, diaqonallarından biri 12-dir. Rombun sahəsini tapın.
1. 48
2. 60
3. 96
4. 120
5. 192
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C 96
Rombun diaqonalları perpendikulyardır və kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür. İkinci diaqonalın yarısı: $\sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ , deməli $d_2 = 16$ . $S = \dfrac{12 \cdot 16}{2} = 96$ . (192 — 2-yə bölməyi unutduqda, 48 isə yarımdiaqonalları vurduqda alınır.)
Paraleloqramın tərəfləri 8 və 6-dır. Uzunluğu 8 olan tərəfə endirilmiş hündürlük 3-dür. Uzunluğu 6 olan tərəfə endirilmiş hündürlüyü tapın.
1. 2
2. 3
3. 3,5
4. 4
5. 4,5
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D 4
$S = 8 \cdot 3 = 24$ , onda $h_b = \dfrac{24}{6} = 4$ . Kiçik tərəfə böyük hündürlük endirilir.
Qabarıq dördbucaqlının diaqonalları 10 və 12-dir, onlar arasındakı bucaq $30^\circ$ -dir. Dördbucaqlının sahəsini tapın.
1. 30
2. $30\sqrt{3}$
3. 60
4. $60\sqrt{3}$
5. 120
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: A 30
$S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \dfrac{1}{2} = 30$ . (60 — $\sin 30^\circ$ vuruğunu unutduqda, $30\sqrt{3}$ isə sinus əvəzinə kosinus götürdükdə alınır.)

Tipik səhvlər

Paraleloqramın sahəsini tərəflərin hasili kimi hesablamaq: $ab$ yalnız düzbucaqlı üçün doğrudur, paraleloqramda $ab\sin\alpha$ və ya $ah_a$ götürülür.
Romb düsturunda 2-yə bölməyi unutmaq və ya yarımdiaqonalları vurmaq: düzgünü $S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$ -dir.
Heron düsturunda yarımperimetr əvəzinə perimetri yazmaq, trapesiyada isə hündürlük əvəzinə yan tərəfi götürmək.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et