Düstur

$A(x_1; y_1)$ və $B(x_2; y_2)$ nöqtələri verilibsə, $AB$ parçasının orta nöqtəsi $M(x; y)$ üçün

x = \frac{x_1 + x_2}{2},

y = \frac{y_1 + y_2}{2}.

Fəzada üçüncü koordinat da eyni qayda ilə tapılır: $z = \dfrac{z_1 + z_2}{2}$ .

Niyə belədir? $A$ , $M$ , $B$ nöqtələrindən $Ox$ oxuna perpendikulyarlar endirək. Onlar paraleldir və $AM = MB$ olduğundan, Fales teoreminə görə oxdakı parçalar da bərabərdir: $x - x_1 = x_2 - x$ . Buradan $x = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ .

Məsələn, $A(-3; 5)$ və $B(7; -1)$ üçün $M\left(\dfrac{-3+7}{2}; \dfrac{5+(-1)}{2}\right) = M(2; 2)$ .

Parçanın ucunun tapılması

Çox vaxt orta nöqtə və bir uc məlum olur, digər ucu tapmaq lazımdır. Düsturdan $x_2 = 2x - x_1$ , $y_2 = 2y - y_1$ alınır: orta nöqtənin koordinatını ikiqat götürüb məlum ucun koordinatını çıxırıq.

Bu qayda ilə verilmiş nöqtəyə başqa bir nöqtəyə nəzərən simmetrik olan nöqtə də tapılır: $A$ nöqtəsinə $M$ nöqtəsinə nəzərən simmetrik nöqtə $B(2x_M - x_A; 2y_M - y_A)$ -dir. Məsələn, $A(1; 4)$ nöqtəsinə $M(3; -2)$ nöqtəsinə nəzərən simmetrik nöqtə $(5; -8)$ -dir.

Paraleloqram, median və medianların kəsişmə nöqtəsi

Paraleloqram. Paraleloqramın diaqonalları kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür, ona görə $AC$ və $BD$ diaqonallarının orta nöqtələri üst-üstə düşür:

x_A + x_C = x_B + x_D,

y_A + y_C = y_B + y_D.

Buradan dördüncü təpə tapılır: $D = A + C - B$ (hər koordinat üzrə).

Median. Üçbucağın medianının uzunluğunu tapmaq üçün əvvəl qarşı tərəfin orta nöqtəsini tapır, sonra iki nöqtə arasındakı məsafə düsturunu tətbiq edirik.

Medianların kəsişmə nöqtəsi $G$ hər medianı təpədən başlayaraq $2:1$ nisbətində bölür. Onun koordinatları təpələrin koordinatlarının ədədi ortasıdır:

G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right).

Çevrə. Diametrin ucları verilərsə, çevrənin mərkəzi bu diametrin orta nöqtəsidir.

Tez-tez rast gəlinən suallar

Orta nöqtə oxun üzərindədir. $AB$ parçasının ortası $Ox$ oxu üzərindədirsə, $y_1 + y_2 = 0$ ; $Oy$ oxu üzərindədirsə, $x_1 + x_2 = 0$ .
Parçanı 4 bərabər hissəyə bölmək. Əvvəl $AB$ parçasının ortası $M$ , sonra $AM$ və $MB$ parçalarının ortaları tapılır.
Naməlum parametr. Məsələn, $A(a; 3)$ , $B(5; b)$ və orta nöqtə $M(1; -2)$ verilibsə, $\dfrac{a+5}{2} = 1$ və $\dfrac{3+b}{2} = -2$ , yəni $a = -3$ , $b = -7$ .

Yadda saxla

Orta nöqtə: $x = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ , $y = \dfrac{y_1 + y_2}{2}$ (fəzada $z$ də eyni qayda ilə).
Parçanın digər ucu: $x_2 = 2x - x_1$ , $y_2 = 2y - y_1$ .
$A$ nöqtəsinə $M$ nöqtəsinə nəzərən simmetrik nöqtə: $(2x_M - x_A; 2y_M - y_A)$ .
$ABCD$ paraleloqramında $A + C = B + D$ (hər koordinat üzrə).
Medianların kəsişmə nöqtəsinin koordinatları təpələrin koordinatlarının ədədi ortasına bərabərdir.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
Üçbucağın təpələri $A(1; 2)$ , $B(5; 4)$ , $C(3; -6)$ -dır. $A$ təpəsindən çəkilmiş medianın uzunluğunu və medianların kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın.
Həlli
1. Median $BC$ tərəfinin orta nöqtəsinə çəkilir: $M\left(\dfrac{5+3}{2}; \dfrac{4+(-6)}{2}\right) = M(4; -1)$ .
2. $AM = \sqrt{(4-1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$ .
3. Medianların kəsişmə nöqtəsi: $G\left(\dfrac{1+5+3}{3}; \dfrac{2+4-6}{3}\right) = G(3; 0)$ .
4. Yoxlama: $G$ nöqtəsi $AM$ medianını $A$ -dan başlayaraq $2:1$ nisbətində bölməlidir. $x$ üçün: $1 + \dfrac{2}{3} \cdot (4 - 1) = 3$ ; $y$ üçün: $2 + \dfrac{2}{3} \cdot (-1 - 2) = 0$ . Nəticə düzdür.
Cavab: $AM = 3\sqrt{2}$ , $G(3; 0)$ .
Misal 2
$ABCD$ paraleloqramının üç təpəsi verilib: $A(-2; 1)$ , $B(1; 5)$ , $C(7; 3)$ . $D$ təpəsini və diaqonalların kəsişmə nöqtəsini tapın.
Həlli
1. Diaqonallar kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür, deməli, kəsişmə nöqtəsi $O$ $AC$ diaqonalının ortasıdır: $O\left(\dfrac{-2+7}{2}; \dfrac{1+3}{2}\right) = O(2{,}5; 2)$ .
2. $O$ həm də $BD$ diaqonalının ortasıdır: $x_D = 2 \cdot 2{,}5 - 1 = 4$ , $y_D = 2 \cdot 2 - 5 = -1$ .
3. Yoxlama $D = A + C - B$ ilə: $(-2 + 7 - 1; 1 + 3 - 5) = (4; -1)$ .
Cavab: $D(4; -1)$ , $O(2{,}5; 2)$ .

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

$A(3; -2; 5)$ və $B(-1; 4; 1)$ nöqtələri verilib. $AB$ parçasının orta nöqtəsinin koordinatlarını tapın.
1. $(2; 2; 6)$
2. $(1; 1; 3)$
3. $(4; -6; 4)$
4. $(1; 3; 3)$
5. $(-2; 3; -2)$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B $(1; 1; 3)$
$x = \dfrac{3 + (-1)}{2} = 1$ , $y = \dfrac{-2 + 4}{2} = 1$ , $z = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$ . ( $(2; 2; 6)$ 2-yə bölməyi unutduqda alınır.)
$M(2; -1)$ nöqtəsi $AB$ parçasının orta nöqtəsidir, $A(-3; 4)$ . $B$ nöqtəsinin koordinatlarını tapın.
1. $(-0{,}5; 1{,}5)$
2. $(5; -5)$
3. $(-8; 9)$
4. $(7; -6)$
5. $(-1; 3)$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D $(7; -6)$
$x_B = 2 \cdot 2 - (-3) = 7$ , $y_B = 2 \cdot (-1) - 4 = -6$ . Yoxlama: $\dfrac{-3 + 7}{2} = 2$ , $\dfrac{4 + (-6)}{2} = -1$ . ( $(-0{,}5; 1{,}5)$ $AM$ parçasının ortasıdır, $(-8; 9)$ isə $M$ nöqtəsinə $A$ nöqtəsinə nəzərən simmetrik olan nöqtədir.)
$A(-1; 3)$ və $B(5; -5)$ nöqtələri çevrənin diametrinin uclarıdır. Çevrənin mərkəzini və radiusunu tapın.
1. $O(2; -1)$ , $R = 5$
2. $O(2; -1)$ , $R = 10$
3. $O(3; -4)$ , $R = 5$
4. $O(4; -2)$ , $R = 10$
5. $O(2; -1)$ , $R = 25$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: A $O(2; -1)$ , $R = 5$
Mərkəz diametrin orta nöqtəsidir: $O\left(\dfrac{-1+5}{2}; \dfrac{3+(-5)}{2}\right) = O(2; -1)$ . Diametr $AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ , radius onun yarısıdır: $R = 5$ .

Tipik səhvlər

Koordinatları toplamaq əvəzinə çıxmaq: $\dfrac{x_2 - x_1}{2}$ orta nöqtənin koordinatı deyil, parçanın $Ox$ oxu üzərindəki proyeksiyasının yarısıdır.
Parçanın ucunu taparkən məlum uc ilə orta nöqtənin ortasını götürmək. Düzgünü: $x_2 = 2x - x_1$ , $y_2 = 2y - y_1$ .
Paraleloqramda təpələrin ardıcıllığını nəzərə almamaq: $ABCD$ -də qarşı təpələr $A$ və $C$ , $B$ və $D$ -dir, ona görə $D = A + C - B$ olur, $A + B - C$ yox. Mənfi koordinatlarda işarə səhvləri də tez-tez olur.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et