Əsas fiqurlar və işarələmələr

Planimetriyada bütün fiqurlar bir müstəvi üzərində yerləşirdi. Stereometriyada isə fiqurlar fəzadadır və əsas fiqurlar üçdür: nöqtə, düz xətt və müstəvi. Onlara tərif verilmir, xassələri aksiomlarla ifadə olunur.

Nöqtələr böyük hərflərlə işarə olunur: $A, B, C$ .
Düz xətlər kiçik hərflərlə ( $a, b$ ) və ya üzərindəki iki nöqtə ilə ( $AB$ ) işarə olunur.
Müstəvilər yunan hərfləri ilə ( $\alpha, \beta, \gamma$ ) və ya üzərindəki üç nöqtə ilə ( $ABC$ ) işarə olunur.

Müstəvi hər tərəfə sonsuz uzanır. Şəkildə onu paraleloqram kimi çəkirik, amma bu, müstəvinin yalnız bir hissəsidir.

Yazılışlar: $A \in \alpha$ (nöqtə müstəviyə aiddir), $B \notin \alpha$ (nöqtə müstəviyə aid deyil), $a \subset \alpha$ (düz xətt müstəvi üzərindədir).

Müstəvi nə vaxt yeganə təyin olunur?

Aksioma görə bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtədən bir və yalnız bir müstəvi keçir. Buradan nəticələr alınır. Müstəvi yeganə şəkildə təyin olunur:

bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtə ilə;
düz xətt və onun üzərində olmayan nöqtə ilə;
kəsişən iki düz xətt ilə;
paralel iki düz xətt ilə.

Bir düz xətdən isə sonsuz sayda müstəvi keçir. Açıq kitabın vərəqlərini xatırlayın: hamısı vərəqlərin birləşdiyi xətdən keçir. Eyni səbəbdən bir düz xətt üzərində olan üç nöqtə də müstəvini təyin etmir.

Daha iki vacib fakt: düz xəttin iki nöqtəsi müstəvi üzərindədirsə, bütün düz xətt bu müstəvi üzərindədir. İki müxtəlif müstəvinin ortaq nöqtəsi varsa, onlar həmin nöqtədən keçən düz xətt boyunca kəsişir.

Fəzada qarşılıqlı vəziyyətlər

İki düz xətt fəzada üç cür yerləşə bilər:

kəsişən: bir ortaq nöqtəsi var;
paralel: bir müstəvi üzərindədir və ortaq nöqtəsi yoxdur;
çarpaz: ortaq nöqtəsi yoxdur və onlar bir müstəvi üzərində deyil.

Düz xətt və müstəvi: düz xətt ya müstəvi üzərindədir, ya müstəvini bir nöqtədə kəsir, ya da müstəviyə paraleldir (ortaq nöqtəsi yoxdur).

İki müstəvi: ya düz xətt boyunca kəsişir, ya da paraleldir.

Bunları kubda görmək asandır. $ABCDA_1B_1C_1D_1$ kubunda $AB$ və $A_1B_1$ tilləri paraleldir, $AB$ və $CC_1$ tilləri çarpazdır, $A_1B_1$ düz xətti isə $ABC$ müstəvisinə paraleldir.

Müstəvilərin sayı ilə bağlı məsələlər

Fəzada heç bir dördü bir müstəvi üzərində olmayan $n$ nöqtə verilibsə, onların hər üçü ayrıca müstəvi təyin edir. Müstəvilərin sayı üçlüklərin sayına bərabərdir:

C_n^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}.

Eyni qayda ilə, bir nöqtədən keçən və heç bir üçü bir müstəvi üzərində olmayan $n$ düz xəttin hər cütü bir müstəvi təyin edir. Belə müstəvilərin sayı $C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2}$ -dir.

Yadda saxla

Stereometriyanın əsas fiqurları: nöqtə, düz xətt, müstəvi.
Bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtədən yalnız bir müstəvi keçir.
Müstəvini həmçinin düz xətt və onun üzərində olmayan nöqtə, kəsişən iki düz xətt və ya paralel iki düz xətt təyin edir.
Düz xəttin iki nöqtəsi müstəvi üzərindədirsə, bütün düz xətt bu müstəvi üzərindədir.
Fəzada ortaq nöqtəsi olmayan iki düz xətt ya paralel, ya da çarpazdır.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
Fəzada heç bir dördü bir müstəvi üzərində olmayan 5 nöqtə verilmişdir. Bu nöqtələrin hər üçündən keçən neçə müxtəlif müstəvi var?
Həlli
1. Nöqtələrdən heç bir üçü bir düz xətt üzərində deyil: əks halda həmin üç nöqtə istənilən dördüncü nöqtə ilə bir müstəvidə olardı. Deməli, hər üçlük bir müstəvi təyin edir.
2. Müxtəlif üçlüklər müxtəlif müstəvilər verir, çünki bir müstəvi üzərində dörd nöqtə yoxdur.
3. Üçlüklərin sayı: $C_5^3 = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6} = 10$ .
Cavab: 10.
Misal 2
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ kubunda qarşılıqlı vəziyyəti müəyyən edin: a) $AA_1$ düz xətti və $ABC$ müstəvisi; b) $A_1B_1$ düz xətti və $ABC$ müstəvisi; c) $AB$ və $CC_1$ düz xətləri; d) $ABB_1$ və $ABC$ müstəviləri.
Həlli
a) $A$ nöqtəsi $ABC$ müstəvisindədir, $A_1$ isə deyil. Deməli, $AA_1$ müstəvini bir nöqtədə, $A$ nöqtəsində kəsir. b) $A_1B_1 \parallel AB$ və $AB$ düz xətti $ABC$ müstəvisi üzərindədir, $A_1B_1$ isə bu müstəvidə deyil. Deməli, $A_1B_1$ müstəviyə paraleldir. c) $CC_1$ düz xətti $ABC$ müstəvisini yalnız $C$ nöqtəsində kəsir, $C$ isə $AB$ üzərində deyil, ona görə ortaq nöqtə yoxdur. Onlar paralel də deyil: $CC_1 \parallel AB$ olsaydı, $CC_1$ düz xətti $ABC$ müstəvisinə paralel olardı və ya onun üzərində yerləşərdi, halbuki o, müstəvini bir nöqtədə kəsir. Deməli, bu düz xətlər çarpazdır. d) Hər iki müstəvi $A$ və $B$ nöqtələrindən keçir, ona görə $AB$ düz xətti boyunca kəsişir.

Cavab: a) kəsişir; b) paraleldir; c) çarpazdır; d) $AB$ boyunca kəsişir.

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Düz xətt və onun üzərində olmayan nöqtədən neçə müstəvi keçir?
1. heç biri
2. yalnız bir
3. iki
4. üç
5. sonsuz sayda
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B yalnız bir
Düz xətt üzərində iki nöqtə götürək. Onlar və verilən nöqtə bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtədir, belə üç nöqtədən isə yalnız bir müstəvi keçir.
Fəzada heç bir dördü bir müstəvi üzərində olmayan 6 nöqtə verilmişdir. Bu nöqtələrin hər üçündən keçən neçə müstəvi var?
1. 6
2. 15
3. 18
4. 20
5. 120
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D 20
Hər üçlük ayrıca müstəvi təyin edir: $C_6^3 = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} = 20$ .
Hansı halda müstəvi yeganə şəkildə təyin olunmur?
1. bir düz xətt üzərində yerləşən üç nöqtə
2. bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtə
3. kəsişən iki düz xətt
4. paralel iki düz xətt
5. düz xətt və onun üzərində olmayan nöqtə
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: A bir düz xətt üzərində yerləşən üç nöqtə
Bir düz xətt üzərindəki üç nöqtədən həmin düz xətt keçir, bir düz xətdən isə sonsuz sayda müstəvi keçir. Qalan hallarda müstəvi yeganədir.

Tipik səhvlər

İstənilən üç nöqtənin müstəvi təyin etdiyini düşünmək. Şərt vacibdir: nöqtələr bir düz xətt üzərində olmamalıdır.
Kəsişməyən iki düz xəttin mütləq paralel olduğunu düşünmək. Fəzada çarpaz düz xətlər də var: onlar kəsişmir, amma paralel də deyil.
Şəkildəki paraleloqramı müstəvinin sərhədi kimi qəbul etmək. Müstəvi sonsuzdur, kəsişmə şəkildən kənarda da ola bilər.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et