Aksiom və teorem

Aksiom isbatsız qəbul olunan təklifdir, teorem isə aksiomlardan və əvvəl isbat olunmuş teoremlərdən çıxarılır. Planimetriyanın bütün aksiomları fəzada hər bir müstəvi üçün doğru qalır. Bundan əlavə, müstəvilərin fəzada necə yerləşdiyini təsvir edən yeni aksiomlar lazımdır.

Müxtəlif dərsliklərdə bu aksiomların ifadəsi və nömrələnməsi bir qədər fərqlənə bilər, məzmunu isə eynidir. Məsələn, bəzi dərsliklərdə kəsişən iki düz xətdən yeganə müstəvi keçməsi aksiom kimi qəbul edilir, üç nöqtə haqqında təklif isə teorem kimi isbat olunur.

Əsas aksiomlar

Aksiom 1. Hər bir müstəvi üzərində nöqtələr var və fəzada həmin müstəviyə aid olmayan nöqtələr də var.

Aksiom 2. Bir düz xətt üzərində olmayan istənilən üç nöqtədən bir və yalnız bir müstəvi keçir.

Aksiom 3. Düz xəttin iki nöqtəsi müstəvi üzərindədirsə, bu düz xəttin bütün nöqtələri həmin müstəvi üzərindədir.

Aksiom 4. İki müxtəlif müstəvinin ortaq nöqtəsi varsa, onlar bu nöqtədən keçən düz xətt üzrə kəsişir və bütün ortaq nöqtələri bu düz xətt üzərindədir.

3-cü aksiomdan alınır ki, düz xətt və müstəvi üçün yalnız üç hal mümkündür: düz xətt müstəvi üzərindədir, müstəvini bir nöqtədə kəsir və ya onların ortaq nöqtəsi yoxdur. 4-cü aksiomdan alınır ki, iki müxtəlif müstəvinin yalnız bir ortaq nöqtəsi ola bilməz.

Aksiomlardan alınan nəticələr

Teorem 1. Düz xətdən və onun üzərində olmayan nöqtədən bir və yalnız bir müstəvi keçir.

İsbatın ideyası: düz xətt üzərində $A$ və $B$ nöqtələrini götürək, verilmiş nöqtə $C$ olsun. $A$ , $B$ , $C$ bir düz xətt üzərində deyil, ona görə 2-ci aksiomla onlardan yeganə müstəvi keçir. 3-cü aksiomla $AB$ düz xətti bütövlükdə bu müstəvi üzərindədir.

Teorem 2. Kəsişən iki düz xətdən bir və yalnız bir müstəvi keçir. Kəsişmə nöqtəsini və hər düz xətt üzərində daha bir nöqtə götürüb yenə 2-ci və 3-cü aksiomları tətbiq edirik.

Beləliklə, müstəvi yeganə şəkildə təyin olunur:

bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtə ilə;
düz xətt və onun üzərində olmayan nöqtə ilə;
kəsişən iki düz xətt ilə;
paralel iki düz xətt ilə (fəzada paralel düz xətlər tərifə görə bir müstəvi üzərində yerləşir).

Bir düz xətt üzərində olan üç nöqtədən isə sonsuz sayda müstəvi keçir, çarpaz düz xətlərdən isə heç bir müstəvi keçmir.

Tipik mühakimələr

İki müxtəlif müstəvinin üç ortaq nöqtəsi varsa, bu nöqtələr bir düz xətt üzərindədir. Deməli, bir düz xətt üzərində olmayan üç ortaq nöqtə varsa, müstəvilər üst-üstə düşür.
Cüt-cüt kəsişən, lakin bir nöqtədən keçməyən üç düz xətt bir müstəvi üzərindədir: onlardan ikisi müstəvi təyin edir, üçüncü düz xəttin isə bu müstəvi ilə iki ortaq nöqtəsi var.
Bir nöqtədən keçən üç düz xətt bir müstəvi üzərində olmaya bilər: kubun bir təpəsindən çıxan üç til buna misaldır.
Çoxüzlünün kəsiyini qurarkən iki müstəvinin kəsişmə xəttini tapmaq üçün onların iki ortaq nöqtəsini tapmaq kifayətdir.

Yadda saxla

Aksiom isbatsız qəbul edilir, teorem isə aksiomlara əsaslanaraq isbat olunur.
Bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtədən yeganə müstəvi keçir.
Düz xəttin iki nöqtəsi müstəvi üzərindədirsə, bütün düz xətt bu müstəvi üzərindədir.
İki müxtəlif müstəvinin ortaq nöqtəsi varsa, onlar düz xətt üzrə kəsişir.
Müstəvini yeganə təyin edir: bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtə, düz xətt və onun xaricindəki nöqtə, kəsişən və ya paralel iki düz xətt.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
$A$ , $B$ , $C$ , $D$ nöqtələri bir müstəvi üzərində deyil. a) Onlardan hər hansı üçü bir düz xətt üzərində ola bilərmi? b) Bu nöqtələrin hər üçündən keçən neçə müstəvi var?
Həlli
a) Fərz edək ki, məsələn, $A$ , $B$ , $C$ bir $a$ düz xətti üzərindədir. $D$ nöqtəsi $a$ üzərində deyil (əks halda dörd nöqtə bir düz xətt üzərində olardı və onlardan müstəvi keçərdi). Teorem 1-ə görə $a$ düz xəttindən və $D$ nöqtəsindən müstəvi keçir. Onda dörd nöqtənin hamısı bu müstəvi üzərində olur, bu isə şərtə ziddir. Deməli, heç bir üç nöqtə bir düz xətt üzərində deyil.

b) Onda hər üç nöqtə yeganə müstəvi təyin edir: $ABC$ , $ABD$ , $ACD$ , $BCD$ . Bu müstəvilər müxtəlifdir: məsələn, $ABC$ və $ABD$ üst-üstə düşsəydi, dörd nöqtə bir müstəvi üzərində olardı. Müstəvilərin sayı $C_4^3 = 4$ -dür.

Cavab: a) ola bilməz; b) 4 müstəvi.
Misal 2
$\alpha$ və $\beta$ müstəviləri $c$ düz xətti üzrə kəsişir. $A$ və $B$ nöqtələri $\alpha$ müstəvisi üzərindədir, $AB$ düz xətti isə $\beta$ müstəvisini $M$ nöqtəsində kəsir. $M$ nöqtəsinin $c$ düz xətti üzərində olduğunu isbat edin.
Həlli
1. $A$ və $B$ nöqtələri $\alpha$ üzərindədir, ona görə 3-cü aksiomla $AB$ düz xəttinin bütün nöqtələri $\alpha$ üzərindədir. Deməli, $M \in \alpha$ .
2. Şərtə görə $M \in \beta$ .
3. $M$ hər iki müstəvinin ortaq nöqtəsidir. 4-cü aksiomla iki müstəvinin bütün ortaq nöqtələri onların kəsişmə xətti üzərindədir, yəni $M \in c$ .
Bu mühakimə çoxüzlülərin kəsiklərini qurarkən tez-tez istifadə olunur: düz xəttin müstəvi ilə kəsişmə nöqtəsi müstəvilərin kəsişmə xətti üzərində axtarılır.

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Aşağıdakılardan hansı müstəvini yeganə şəkildə təyin etmir?
1. Üçbucağın üç təpəsi
2. Kəsişən iki düz xətt
3. Bir düz xətt üzərində olan üç nöqtə
4. Paralel iki düz xətt
5. Düz xətt və onun üzərində olmayan nöqtə
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C Bir düz xətt üzərində olan üç nöqtə
Bir düz xətt üzərində olan üç nöqtədən sonsuz sayda müstəvi keçir: bu düz xətdən keçən bütün müstəvilər. Qalan hallarda müstəvi yeganədir; üçbucağın təpələri bir düz xətt üzərində deyil.
Fəzada heç bir dördü bir müstəvi üzərində olmayan 5 nöqtə verilib. Bu nöqtələrin hər üçündən keçən müstəvilərin sayını tapın.
1. 5
2. 10
3. 15
4. 20
5. 60
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B 10
Heç bir dörd nöqtə bir müstəvi üzərində olmadığı üçün heç bir üç nöqtə də bir düz xətt üzərində deyil, deməli, hər üçlük müstəvi təyin edir. Müxtəlif üçlüklər müxtəlif müstəvilər verir, əks halda dörd nöqtə bir müstəvi üzərində olardı. $C_5^3 = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6} = 10$ . (60 nöqtələrin sırasını nəzərə alanda alınır, lakin $ABC$ və $BAC$ eyni müstəvidir.)
Hansı iddia doğrudur?
1. İki müxtəlif müstəvinin yalnız bir ortaq nöqtəsi ola bilər.
2. İstənilən üç nöqtədən yalnız bir müstəvi keçir.
3. Bir nöqtədən keçən üç düz xətt həmişə bir müstəvi üzərində yerləşir.
4. Düz xəttin iki nöqtəsi müstəvi üzərindədirsə, bütün düz xətt bu müstəvi üzərindədir.
5. Çarpaz iki düz xətdən müstəvi keçir.
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D Düz xəttin iki nöqtəsi müstəvi üzərindədirsə, bütün düz xətt bu müstəvi üzərindədir.
D 3-cü aksiomdur. A səhvdir: ortaq nöqtəsi olan iki müxtəlif müstəvi düz xətt üzrə kəsişir. B səhvdir: nöqtələr bir düz xətt üzərində ola bilər. C səhvdir: kubun bir təpəsindən çıxan üç til bir müstəvi üzərində deyil. E səhvdir: çarpaz düz xətlər bir müstəvi üzərində yerləşmir.

Tipik səhvlər

İstənilən üç nöqtədən yalnız bir müstəvi keçdiyini düşünmək: nöqtələr bir düz xətt üzərindədirsə, müstəvilər sonsuz saydadır.
İki müstəvinin yalnız bir ortaq nöqtəsi ola biləcəyini düşünmək: ortaq nöqtə varsa, müstəvilər mütləq düz xətt üzrə kəsişir.
Ortaq nöqtəsi olmayan iki düz xətti həmişə paralel saymaq: fəzada onlar çarpaz da ola bilər. Müstəvilərin sayını hesablayarkən nöqtələrin sırasını nəzərə almaq da səhvdir: $ABC$ və $BAC$ eyni müstəvidir, ona görə permutasiyaların deyil, kombinezonların sayı götürülür.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et