Prizma və onun elementləri

İki üzü paralel müstəvilərdə yerləşən bərabər $n$ -bucaqlılar, qalan $n$ üzü isə paraleloqramlar olan çoxüzlüyə $n$ -bucaqlı prizma deyilir.

Oturacaqlar: paralel müstəvilərdəki iki bərabər çoxbucaqlı.
Yan üzlər: paraleloqramlar.
Yan tillər: oturacaqların uyğun təpələrini birləşdirən parçalar; hamısı bərabər və paraleldir.
Hündürlük $h$ : oturacaqların müstəviləri arasındakı məsafə.
Diaqonal: bir üzə aid olmayan iki təpəni birləşdirən parça.

$n$ -bucaqlı prizmanın $2n$ təpəsi, $3n$ tili və $n + 2$ üzü var. Hər təpədən $n - 3$ diaqonal çıxır, prizmanın bütün diaqonallarının sayı $n(n-3)$ -dür. Üçbucaqlı prizmanın diaqonalı yoxdur.

Düz, mail və düzgün prizma

Düz prizmada yan tillər oturacaq müstəvisinə perpendikulyardır. Yan üzlər düzbucaqlılardır, yan til hündürlüyə bərabərdir.
Mail prizmada yan tillər oturacaq müstəvisinə perpendikulyar deyil. Yan til $l$ oturacaq müstəvisi ilə $\varphi$ bucağı əmələ gətirirsə, $h = l\sin\varphi$ .
Düzgün prizma oturacağı düzgün çoxbucaqlı olan düz prizmadır. Onun bütün yan üzləri bərabər düzbucaqlılardır.

Oturacağın sahəsi üçün tez-tez lazım olan düsturlar: bərabərtərəfli üçbucaq $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ , kvadrat $a^2$ , düzgün altıbucaqlı $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$ .

Oturacağının tərəfi $a$ , hündürlüyü $h$ olan düzgün dördbucaqlı prizmanın diaqonalı $d^2 = 2a^2 + h^2$ düsturu ilə tapılır: prizmanın diaqonalı, oturacağın diaqonalı $a\sqrt{2}$ və yan til düzbucaqlı üçbucaq əmələ gətirir.

Səthin sahəsi

Yan səthin sahəsi bütün yan üzlərin sahələrinin cəmidir.

Düz prizmada: $S_{\text{yan}} = P \cdot h$ , burada $P$ oturacağın perimetridir. Yan səthin açılışı tərəfləri $P$ və $h$ olan düzbucaqlıdır.
Mail prizmada: $S_{\text{yan}} = P_{\perp} \cdot l$ , burada $P_{\perp}$ yan tillərə perpendikulyar kəsiyin perimetri, $l$ isə yan tildir.

Tam səthin sahəsi yan səthin sahəsi ilə iki oturacağın sahələrinin cəminə bərabərdir:

S_{\text{tam}} = S_{\text{yan}} + 2S_{\text{ot}}.

Həcm

Prizmanın həcmi oturacağın sahəsi ilə hündürlüyün hasilinə bərabərdir:

V = S_{\text{ot}} \cdot h.

Bu düstur həm düz, həm də mail prizma üçün doğrudur. Mail prizmanın həcmini perpendikulyar kəsik vasitəsilə də tapmaq olar: $V = S_{\perp} \cdot l$ .

Diqqət: mail prizmada $h$ yan til deyil, oturacaqların müstəviləri arasındakı məsafədir. Oturacaqlarının sahələri və hündürlükləri bərabər olan prizmaların həcmləri də bərabərdir.

Yadda saxla

$n$ -bucaqlı prizma: $2n$ təpə, $3n$ til, $n + 2$ üz, $n(n-3)$ diaqonal.
Düz prizmada $S_{\text{yan}} = P \cdot h$ ; mail prizmada $S_{\text{yan}} = P_{\perp} \cdot l$ .
$S_{\text{tam}} = S_{\text{yan}} + 2S_{\text{ot}}$ .
$V = S_{\text{ot}} \cdot h$ ; mail prizmada $h = l\sin\varphi$ və $V = S_{\perp} \cdot l$ .
Düzgün prizma oturacağı düzgün çoxbucaqlı olan düz prizmadır.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
Düzgün üçbucaqlı prizmanın oturacağının tərəfi 6, yan tili 10-dur. Prizmanın yan səthinin sahəsini, tam səthinin sahəsini və həcmini tapın.
Həlli
1. Düzgün prizma düzdür, ona görə $h = 10$ . Oturacağın perimetri $P = 3 \cdot 6 = 18$ .
2. $S_{\text{yan}} = P \cdot h = 18 \cdot 10 = 180$ .
3. Oturacaq bərabərtərəfli üçbucaqdır: $S_{\text{ot}} = \dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ .
4. $S_{\text{tam}} = 180 + 2 \cdot 9\sqrt{3} = 180 + 18\sqrt{3}$ .
5. $V = S_{\text{ot}} \cdot h = 9\sqrt{3} \cdot 10 = 90\sqrt{3}$ .
Cavab: $180$ ; $180 + 18\sqrt{3}$ ; $90\sqrt{3}$ .
Misal 2
Düzgün dördbucaqlı prizmanın diaqonalı 11, oturacağının tərəfi 6-dır. Prizmanın həcmini və yan səthinin sahəsini tapın.
Həlli
1. Oturacaq kvadratdır, onun diaqonalı $6\sqrt{2}$ -dir. Prizmanın diaqonalı, oturacağın diaqonalı və yan til düzbucaqlı üçbucaq əmələ gətirir: $h^2 = d^2 - 2a^2 = 121 - 72 = 49$ , $h = 7$ .
2. $V = a^2 h = 36 \cdot 7 = 252$ .
3. $S_{\text{yan}} = 4a \cdot h = 24 \cdot 7 = 168$ .
Cavab: $V = 252$ , $S_{\text{yan}} = 168$ .

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Düz prizmanın oturacağı katetləri 6 və 8 olan düzbucaqlı üçbucaqdır, prizmanın hündürlüyü 10-dur. Prizmanın tam səthinin sahəsini tapın.
1. 240
2. 264
3. 288
4. 336
5. 480
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C 288
Hipotenuz $\sqrt{36 + 64} = 10$ , perimetr $P = 6 + 8 + 10 = 24$ . $S_{\text{yan}} = 24 \cdot 10 = 240$ , $S_{\text{ot}} = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24$ . $S_{\text{tam}} = 240 + 2 \cdot 24 = 288$ . (264 bir oturacağı unutduqda, 336 isə oturacağın sahəsini $6 \cdot 8 = 48$ götürdükdə alınır.)
Mail prizmanın yan tili 12-dir və oturacaq müstəvisi ilə $30^\circ$ bucaq əmələ gətirir. Oturacağın sahəsi 15-dir. Prizmanın həcmini tapın.
1. 90
2. 180
3. $90\sqrt{3}$
4. 60
5. 30
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: A 90
$h = l\sin 30^\circ = 12 \cdot \dfrac{1}{2} = 6$ , $V = S_{\text{ot}} \cdot h = 15 \cdot 6 = 90$ . (180 yan tili hündürlük kimi götürdükdə, $90\sqrt{3}$ isə sinus əvəzinə kosinus götürdükdə alınır.)
Düzgün altıbucaqlı prizmanın neçə diaqonalı var?
1. 6
2. 9
3. 12
4. 18
5. 27
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D 18
Prizmanın hər diaqonalının bir ucu aşağı, digər ucu yuxarı oturacaqdadır. Aşağı oturacağın hər təpəsindən $6 - 3 = 3$ diaqonal çıxır: $6 \cdot 3 = 18$ . Oturacaqların diaqonalları üzün diaqonallarıdır, onlar sayılmır (9 bir altıbucaqlının diaqonallarının sayıdır).

Tipik səhvlər

Mail prizmada yan tili hündürlük kimi götürmək: $V = S_{\text{ot}} \cdot h$ , burada $h = l\sin\varphi$ .
Tam səthin sahəsində oturacağın sahəsini bir dəfə toplamaq: prizmanın iki oturacağı var.
Prizmanın diaqonalını yan üzün və ya oturacağın diaqonalı ilə qarışdırmaq: prizmanın diaqonalı bir üzə aid olmayan iki təpəni birləşdirir.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et