Silindrin kəsikləri

Ox kəsiyi (müstəvi oxdan keçir): tərəfləri $2R$ və $h$ olan düzbucaqlı. Silindrin bütün ox kəsikləri bərabərdir.
Oxa paralel kəsik: tərəfləri $h$ və $AB$ olan düzbucaqlı, burada $AB$ oturacaq çevrəsinin vətəridir. Kəsik müstəvisi oxdan $d$ məsafəsindədirsə, oturacağın mərkəzindən vətərə qədər məsafə də $d$ -yə bərabərdir və

AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}.

Vətər oturacaq çevrəsindən dərəcə ölçüsü $\alpha$ olan qövs ayırırsa, $AB = 2R\sin\dfrac{\alpha}{2}$ . Oxa paralel kəsiklərin ən böyüyü ox kəsiyidir ( $d = 0$ ).

Oturacağa paralel kəsik: oturacağa bərabər dairə, radiusu $R$ .
Müstəvi bütün doğuranları kəsirsə, lakin oturacağa paralel deyilsə, kəsikdə ellips alınır.

Konusun ox kəsiyi və oturacağa paralel kəsik

Ox kəsiyi: yan tərəfləri $l$ , oturacağı $2R$ , hündürlüyü $h$ olan bərabəryanlı üçbucaq. Onun sahəsi $S = \dfrac{1}{2} \cdot 2R \cdot h = Rh$ .
Oturacağa paralel kəsik dairədir. Kəsik təpədən $x$ məsafəsindədirsə, oxşarlıqdan onun radiusu

r = R \cdot \frac{x}{h},

sahəsi isə oturacağın sahəsinin $\left(\dfrac{x}{h}\right)^2$ hissəsidir. Məsələn, hündürlüyün ortasından keçən kəsiyin sahəsi oturacağın sahəsinin dörddə birinə bərabərdir.

Belə kəsik konusu kiçik konusa və kəsik konusa ayırır. Kəsik konusun ox kəsiyi oturacaqları $2R$ və $2r$ olan bərabəryanlı trapesiyadır.

Konusun təpəsindən keçən kəsik

Təpədən keçən və oturacağı $AB$ vətəri üzrə kəsən müstəvi bərabəryanlı $SAB$ üçbucağını verir: $SA = SB = l$ . Oturacağın mərkəzi $O$ , vətərin orta nöqtəsi $K$ və $OK = d$ olsun. Onda:

$AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}$ ;
kəsiyin hündürlüyü $SK = \sqrt{h^2 + d^2}$ , çünki $SOK$ düzbucaqlı üçbucaqdır;
$S = \dfrac{1}{2} AB \cdot SK$ .

$SK \perp AB$ və $OK \perp AB$ olduğundan, $\angle SKO$ kəsik müstəvisi ilə oturacaq müstəvisi arasındakı bucaqdır: $\operatorname{tg}\angle SKO = \dfrac{h}{d}$ .

Kəsiyin sahəsini $S = \dfrac{1}{2}l^2\sin\gamma$ kimi də yazmaq olar, burada $\gamma = \angle ASB$ . Buradan vacib nəticə alınır: ox kəsiyinin təpə bucağı $90^\circ$ -dən böyük deyilsə, təpədən keçən kəsiklərin ən böyüyü ox kəsiyidir; $90^\circ$ -dən böyükdürsə, ən böyük sahə $\dfrac{1}{2}l^2$ olur (təpə bucağı $90^\circ$ olan kəsik).

Yadda saxla

Silindrin ox kəsiyi tərəfləri $2R$ və $h$ , oxa paralel kəsiyi isə tərəfləri $2\sqrt{R^2 - d^2}$ və $h$ olan düzbucaqlıdır.
Konusun ox kəsiyi oturacağı $2R$ , yan tərəfləri $l$ olan bərabəryanlı üçbucaqdır, sahəsi $Rh$ .
Konusun oturacağa paralel kəsiyi: $r = R \cdot \dfrac{x}{h}$ , sahələr nisbəti $\left(\dfrac{x}{h}\right)^2$ .
Təpədən keçən kəsik: $AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}$ , hündürlüyü $SK = \sqrt{h^2 + d^2}$ , sahəsi $\dfrac{1}{2}l^2\sin\gamma$ .
Vətər: $AB = 2\sqrt{R^2 - d^2} = 2R\sin\dfrac{\alpha}{2}$ .

Həll olunmuş misallar

Misal 1
Silindrin oturacağının radiusu 5, hündürlüyü 8-dir. Oxa paralel müstəvi oxdan 3 məsafəsində keçir. Kəsiyin sahəsini tapın.
Həlli
1. Kəsik bir tərəfi silindrin hündürlüyü, digər tərəfi oturacaq çevrəsinin vətəri olan düzbucaqlıdır.
2. Vətər mərkəzdən 3 məsafədədir: $AB = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2 \cdot 4 = 8$ .
3. $S = AB \cdot h = 8 \cdot 8 = 64$ (kəsik kvadratdır).
Cavab: 64.
Misal 2
Konusun hündürlüyü 6, oturacağının radiusu 10-dur. Konusun təpəsindən keçən müstəvi oturacaq müstəvisi ilə $45^\circ$ bucaq əmələ gətirir. Kəsiyin sahəsini tapın.
Həlli
1. Kəsik $SAB$ üçbucağıdır, $K$ isə $AB$ vətərinin ortasıdır. $OK \perp AB$ və $SK \perp AB$ , ona görə $\angle SKO = 45^\circ$ .
2. $SOK$ düzbucaqlı üçbucağında $\operatorname{tg} 45^\circ = \dfrac{SO}{OK}$ , buradan $OK = 6$ və $SK = 6\sqrt{2}$ .
3. $OKA$ düzbucaqlı üçbucağından: $AK = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ , $AB = 16$ .
4. $S = \dfrac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6\sqrt{2} = 48\sqrt{2}$ .
Cavab: $48\sqrt{2}$ .

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Konusun oturacağına paralel müstəvi onun hündürlüyünü təpədən başlayaraq $1:2$ nisbətində bölür. Konusun oturacağının sahəsi $36\pi$ -dir. Kəsiyin sahəsini tapın.
1. $4\pi$
2. $9\pi$
3. $12\pi$
4. $16\pi$
5. $18\pi$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: A $4\pi$
Kəsik təpədən hündürlüyün üçdə biri qədər məsafədədir: $\dfrac{x}{h} = \dfrac{1}{3}$ . Sahələr nisbəti $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$ , $S = \dfrac{36\pi}{9} = 4\pi$ . ( $12\pi$ sahəni $\dfrac{1}{3}$ -ə vurduqda, $16\pi$ isə nisbəti oturacaqdan hesabladıqda alınır.)
Silindrin oturacağının radiusu 6, hündürlüyü 10-dur. Oxa paralel müstəvi oturacaq çevrəsindən $120^\circ$ -li qövs ayırır. Kəsiyin sahəsini tapın.
1. 30
2. $30\sqrt{3}$
3. 60
4. $60\sqrt{3}$
5. 120
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D $60\sqrt{3}$
Kəsiyin bir tərəfi $h = 10$ , digəri vətərdir: $AB = 2R\sin 60^\circ = 2 \cdot 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ . $S = 6\sqrt{3} \cdot 10 = 60\sqrt{3}$ . (60 qövs $60^\circ$ olanda, 120 isə ox kəsiyi üçün alınır.)
Konusun ox kəsiyinin təpə bucağı $120^\circ$ , doğuranı 8-dir. Konusun təpəsindən keçən kəsiklərdən ən böyüyünün sahəsini tapın.
1. 16
2. $16\sqrt{3}$
3. 32
4. $32\sqrt{3}$
5. 64
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C 32
Təpədən keçən kəsiyin sahəsi $S = \dfrac{1}{2}l^2\sin\gamma$ düsturu ilə tapılır, burada $\gamma$ $0^\circ$ -dən $120^\circ$ -yə qədər dəyişə bilər. $\sin\gamma$ ən böyük qiymətini $\gamma = 90^\circ$ olanda alır: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 64 \cdot 1 = 32$ . Ox kəsiyinin sahəsi isə $\dfrac{1}{2} \cdot 64 \cdot \sin 120^\circ = 16\sqrt{3}$ olur, bu 32-dən kiçikdir.

Tipik səhvlər

Oxa paralel kəsikdə düzbucaqlının tərəfini $2R$ götürmək: kəsik oxdan keçmirsə, həmin tərəf vətərdir, $2\sqrt{R^2 - d^2}$ .
Konusun oturacağa paralel kəsiyində sahəni məsafələr nisbəti qədər azaltmaq: radius $\dfrac{x}{h}$ dəfə, sahə isə $\left(\dfrac{x}{h}\right)^2$ dəfə dəyişir.
Təpədən keçən kəsiyin hündürlüyü kimi konusun hündürlüyünü götürmək: kəsiyin hündürlüyü $SK = \sqrt{h^2 + d^2}$ olur. Ox kəsiyinin həmişə ən böyük kəsik olduğunu düşünmək də səhvdir: təpə bucağı $90^\circ$ -dən böyük olanda belə deyil.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et