Сечения цилиндра

Осевое сечение (плоскость проходит через ось): прямоугольник со сторонами $2R$ и $h$ . Все осевые сечения цилиндра равны.
Сечение, параллельное оси: прямоугольник со сторонами $h$ и $AB$ , где $AB$ — хорда окружности основания. Если плоскость сечения находится на расстоянии $d$ от оси, то расстояние от центра основания до хорды тоже равно $d$ и

AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}.

Если хорда стягивает дугу окружности основания градусной мерой $\alpha$ , то $AB = 2R\sin\dfrac{\alpha}{2}$ . Наибольшее из сечений, параллельных оси, — осевое ( $d = 0$ ).

Сечение, параллельное основанию: круг, равный основанию, радиуса $R$ .
Если плоскость пересекает все образующие, но не параллельна основанию, в сечении получается эллипс.

Осевое сечение конуса и сечение, параллельное основанию

Осевое сечение: равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$ , основанием $2R$ и высотой $h$ . Его площадь $S = \dfrac{1}{2} \cdot 2R \cdot h = Rh$ .
Сечение, параллельное основанию, — круг. Если сечение находится на расстоянии $x$ от вершины, то из подобия его радиус

r = R \cdot \frac{x}{h},

а площадь составляет $\left(\dfrac{x}{h}\right)^2$ от площади основания. Например, площадь сечения, проходящего через середину высоты, равна четверти площади основания.

Такое сечение делит конус на меньший конус и усечённый конус. Осевое сечение усечённого конуса — равнобедренная трапеция с основаниями $2R$ и $2r$ .

Сечение конуса, проходящее через вершину

Плоскость, проходящая через вершину и пересекающая основание по хорде $AB$ , даёт равнобедренный треугольник $SAB$ : $SA = SB = l$ . Пусть $O$ — центр основания, $K$ — середина хорды, $OK = d$ . Тогда:

$AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}$ ;
высота сечения $SK = \sqrt{h^2 + d^2}$ , так как треугольник $SOK$ прямоугольный;
$S = \dfrac{1}{2} AB \cdot SK$ .

Так как $SK \perp AB$ и $OK \perp AB$ , угол $SKO$ — это угол между плоскостью сечения и плоскостью основания: $\operatorname{tg}\angle SKO = \dfrac{h}{d}$ .

Площадь сечения можно записать и так: $S = \dfrac{1}{2}l^2\sin\gamma$ , где $\gamma = \angle ASB$ . Отсюда важный вывод: если угол при вершине осевого сечения не больше $90^\circ$ , то наибольшее из сечений через вершину — осевое; если больше $90^\circ$ , то наибольшая площадь равна $\dfrac{1}{2}l^2$ (сечение с прямым углом при вершине).

Запомните

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $2R$ и $h$ , сечение, параллельное оси, — прямоугольник со сторонами $2\sqrt{R^2 - d^2}$ и $h$ .
Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием $2R$ и боковыми сторонами $l$ , его площадь $Rh$ .
Сечение конуса, параллельное основанию: $r = R \cdot \dfrac{x}{h}$ , отношение площадей $\left(\dfrac{x}{h}\right)^2$ .
Сечение через вершину: $AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}$ , высота $SK = \sqrt{h^2 + d^2}$ , площадь $\dfrac{1}{2}l^2\sin\gamma$ .
Хорда: $AB = 2\sqrt{R^2 - d^2} = 2R\sin\dfrac{\alpha}{2}$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Радиус основания цилиндра равен 5, высота равна 8. Плоскость, параллельная оси, проходит на расстоянии 3 от оси. Найдите площадь сечения.
Решение
1. Сечение — прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, а другая — хорде окружности основания.
2. Хорда удалена от центра на 3: $AB = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2 \cdot 4 = 8$ .
3. $S = AB \cdot h = 8 \cdot 8 = 64$ (сечение — квадрат).
Ответ: 64.
Пример 2
Высота конуса равна 6, радиус основания равен 10. Плоскость, проходящая через вершину конуса, образует с плоскостью основания угол $45^\circ$ . Найдите площадь сечения.
Решение
1. Сечение — треугольник $SAB$ , $K$ — середина хорды $AB$ . Так как $OK \perp AB$ и $SK \perp AB$ , то $\angle SKO = 45^\circ$ .
2. В прямоугольном треугольнике $SOK$ : $\operatorname{tg} 45^\circ = \dfrac{SO}{OK}$ , отсюда $OK = 6$ и $SK = 6\sqrt{2}$ .
3. Из прямоугольного треугольника $OKA$ : $AK = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ , $AB = 16$ .
4. $S = \dfrac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6\sqrt{2} = 48\sqrt{2}$ .
Ответ: $48\sqrt{2}$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Плоскость, параллельная основанию конуса, делит его высоту в отношении $1:2$ , считая от вершины. Площадь основания конуса равна $36\pi$ . Найдите площадь сечения.
1. $4\pi$
2. $9\pi$
3. $12\pi$
4. $16\pi$
5. $18\pi$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $4\pi$
Сечение находится от вершины на расстоянии, равном трети высоты: $\dfrac{x}{h} = \dfrac{1}{3}$ . Отношение площадей $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$ , $S = \dfrac{36\pi}{9} = 4\pi$ . ( $12\pi$ получится, если умножить площадь на $\dfrac{1}{3}$ , а $16\pi$ — если считать отношение от основания.)
Радиус основания цилиндра равен 6, высота равна 10. Плоскость, параллельная оси, отсекает от окружности основания дугу в $120^\circ$ . Найдите площадь сечения.
1. 30
2. $30\sqrt{3}$
3. 60
4. $60\sqrt{3}$
5. 120
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $60\sqrt{3}$
Одна сторона сечения $h = 10$ , другая — хорда: $AB = 2R\sin 60^\circ = 2 \cdot 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ . $S = 6\sqrt{3} \cdot 10 = 60\sqrt{3}$ . (60 получится для дуги в $60^\circ$ , а 120 — для осевого сечения.)
Угол при вершине осевого сечения конуса равен $120^\circ$ , образующая равна 8. Найдите наибольшую площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через его вершину.
1. 16
2. $16\sqrt{3}$
3. 32
4. $32\sqrt{3}$
5. 64
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 32
Площадь сечения через вершину находится по формуле $S = \dfrac{1}{2}l^2\sin\gamma$ , где угол $\gamma$ может меняться от $0^\circ$ до $120^\circ$ . Наибольшее значение $\sin\gamma$ принимает при $\gamma = 90^\circ$ : $S = \dfrac{1}{2} \cdot 64 \cdot 1 = 32$ . Площадь же осевого сечения равна $\dfrac{1}{2} \cdot 64 \cdot \sin 120^\circ = 16\sqrt{3}$ , это меньше 32.

Типичные ошибки

Брать сторону сечения, параллельного оси, равной $2R$ : если сечение не проходит через ось, эта сторона — хорда $2\sqrt{R^2 - d^2}$ .
Уменьшать площадь сечения, параллельного основанию, в отношении расстояний: радиус меняется в $\dfrac{x}{h}$ раз, а площадь — в $\left(\dfrac{x}{h}\right)^2$ раз.
Принимать за высоту сечения через вершину высоту конуса: высота сечения $SK = \sqrt{h^2 + d^2}$ . Ошибочно и считать, что осевое сечение всегда наибольшее: при угле при вершине больше $90^\circ$ это не так.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото