Цилиндр и конус: элементы, осевое сечение и развёртка

При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон получается цилиндр. Сторона, вокруг которой вращают, становится высотой цилиндра, а соседняя — радиусом основания.

• Основания: два равных круга радиуса $R$, лежащие в параллельных плоскостях.
• Ось: прямая, проходящая через центры оснований.
• Образующие: отрезки, соединяющие соответственные точки окружностей оснований. Все они равны и параллельны оси.
• Высота $h$: расстояние между плоскостями оснований. У прямого цилиндра образующая равна высоте.

Осевое сечение (сечение плоскостью, проходящей через ось) — прямоугольник со сторонами $2R$ и $h$. Если осевое сечение — квадрат, то $h = 2R$. Диагональ осевого сечения равна $d = \sqrt{4R^2 + h^2}$. Если эта диагональ образует с плоскостью основания угол $\beta$, то $\operatorname{tg}\beta = \dfrac{h}{2R}$.

Если разрезать боковую поверхность цилиндра по образующей и развернуть, получится прямоугольник со сторонами $2\pi R$ и $h$: это развёртка боковой поверхности. Одна её сторона равна длине окружности основания, другая — высоте.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов получается конус.

• Вершина: вершина треугольника на оси вращения, не лежащая в основании.
• Основание: круг радиуса $R$; $R$ равен второму катету, который не лежит на оси вращения.
• Высота $h$: отрезок от вершины до центра основания, то есть катет, служащий осью вращения.
• Образующая $l$: отрезок, соединяющий вершину с точкой окружности основания, то есть гипотенуза треугольника.

$R$, $h$ и $l$ образуют прямоугольный треугольник, поэтому

Если $\varphi$ — угол между образующей и плоскостью основания, то $\cos\varphi = \dfrac{R}{l}$, $\sin\varphi = \dfrac{h}{l}$.

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$, основанием $2R$ и высотой $h$. Если осевое сечение — равносторонний треугольник, то $l = 2R$. Высота делит угол при вершине осевого сечения пополам: если этот угол равен $2\beta$, то $\sin\beta = \dfrac{R}{l}$.

Если разрезать боковую поверхность конуса по образующей и развернуть, получится круговой сектор:

• радиус сектора равен образующей $l$;
• длина дуги сектора равна длине окружности основания $2\pi R$.

Отсюда центральный угол сектора:

Например, если развёртка — полукруг ($\alpha = 180^\circ$), то $l = 2R$.

Подробно эти формулы разбираются в отдельных уроках, здесь они собраны для запоминания.

Цилиндр:

• $S_{\text{бок}} = 2\pi Rh$, $S_{\text{полн}} = 2\pi R(R + h)$, $V = \pi R^2 h$.

Конус:

• $S_{\text{бок}} = \pi R l$, $S_{\text{полн}} = \pi R(R + l)$, $V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h$.

Формулы боковой поверхности следуют из развёрток. Развёртка цилиндра — прямоугольник площадью $2\pi R \cdot h$. Развёртка конуса — сектор, его площадь равна половине произведения длины дуги на радиус: $\dfrac{1}{2} \cdot 2\pi R \cdot l = \pi R l$.

Внимание: в объём конуса входит высота $h$, а в площадь боковой поверхности — образующая $l$.