Призма и её элементы

$n$ -угольной призмой называется многогранник, две грани которого — равные $n$ -угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные $n$ граней — параллелограммы.

Основания: два равных многоугольника в параллельных плоскостях.
Боковые грани: параллелограммы.
Боковые рёбра: отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований; все они равны и параллельны.
Высота $h$ : расстояние между плоскостями оснований.
Диагональ: отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани.

У $n$ -угольной призмы $2n$ вершин, $3n$ рёбер и $n + 2$ грани. Из каждой вершины выходит $n - 3$ диагонали, всего у призмы $n(n-3)$ диагоналей. У треугольной призмы диагоналей нет.

Прямая, наклонная и правильная призма

У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. Боковые грани — прямоугольники, боковое ребро равно высоте.
У наклонной призмы боковые рёбра не перпендикулярны плоскости основания. Если боковое ребро $l$ образует с плоскостью основания угол $\varphi$ , то $h = l\sin\varphi$ .
Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. Все её боковые грани — равные прямоугольники.

Формулы площади основания, которые часто нужны: равносторонний треугольник $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ , квадрат $a^2$ , правильный шестиугольник $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$ .

Диагональ правильной четырёхугольной призмы со стороной основания $a$ и высотой $h$ находится по формуле $d^2 = 2a^2 + h^2$ : диагональ призмы, диагональ основания $a\sqrt{2}$ и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник.

Площадь поверхности

Площадь боковой поверхности — сумма площадей всех боковых граней.

Для прямой призмы: $S_{\text{бок}} = P \cdot h$ , где $P$ — периметр основания. Развёртка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами $P$ и $h$ .
Для наклонной призмы: $S_{\text{бок}} = P_{\perp} \cdot l$ , где $P_{\perp}$ — периметр сечения, перпендикулярного боковым рёбрам, а $l$ — боковое ребро.

Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований:

S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}.

Объём

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:

V = S_{\text{осн}} \cdot h.

Формула верна и для прямой, и для наклонной призмы. Объём наклонной призмы можно найти и через перпендикулярное сечение: $V = S_{\perp} \cdot l$ .

Внимание: у наклонной призмы $h$ — это не боковое ребро, а расстояние между плоскостями оснований. Призмы с равными площадями оснований и равными высотами имеют равные объёмы.

Запомните

$n$ -угольная призма: $2n$ вершин, $3n$ рёбер, $n + 2$ грани, $n(n-3)$ диагоналей.
Прямая призма: $S_{\text{бок}} = P \cdot h$ ; наклонная: $S_{\text{бок}} = P_{\perp} \cdot l$ .
$S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}$ .
$V = S_{\text{осн}} \cdot h$ ; у наклонной призмы $h = l\sin\varphi$ и $V = S_{\perp} \cdot l$ .
Правильная призма — прямая призма с правильным многоугольником в основании.

Разобранные примеры

Пример 1
Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности и объём призмы.
Решение
1. Правильная призма прямая, поэтому $h = 10$ . Периметр основания $P = 3 \cdot 6 = 18$ .
2. $S_{\text{бок}} = P \cdot h = 18 \cdot 10 = 180$ .
3. Основание — равносторонний треугольник: $S_{\text{осн}} = \dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ .
4. $S_{\text{полн}} = 180 + 2 \cdot 9\sqrt{3} = 180 + 18\sqrt{3}$ .
5. $V = S_{\text{осн}} \cdot h = 9\sqrt{3} \cdot 10 = 90\sqrt{3}$ .
Ответ: $180$ ; $180 + 18\sqrt{3}$ ; $90\sqrt{3}$ .
Пример 2
Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 11, сторона основания равна 6. Найдите объём призмы и площадь её боковой поверхности.
Решение
1. Основание — квадрат, его диагональ равна $6\sqrt{2}$ . Диагональ призмы, диагональ основания и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник: $h^2 = d^2 - 2a^2 = 121 - 72 = 49$ , $h = 7$ .
2. $V = a^2 h = 36 \cdot 7 = 252$ .
3. $S_{\text{бок}} = 4a \cdot h = 24 \cdot 7 = 168$ .
Ответ: $V = 252$ , $S_{\text{бок}} = 168$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь полной поверхности призмы.
1. 240
2. 264
3. 288
4. 336
5. 480
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 288
Гипотенуза $\sqrt{36 + 64} = 10$ , периметр $P = 6 + 8 + 10 = 24$ . $S_{\text{бок}} = 24 \cdot 10 = 240$ , $S_{\text{осн}} = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24$ . $S_{\text{полн}} = 240 + 2 \cdot 24 = 288$ . (264 получится, если учесть только одно основание, а 336 — если взять площадь основания $6 \cdot 8 = 48$ .)
Боковое ребро наклонной призмы равно 12 и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$ . Площадь основания равна 15. Найдите объём призмы.
1. 90
2. 180
3. $90\sqrt{3}$
4. 60
5. 30
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A 90
$h = l\sin 30^\circ = 12 \cdot \dfrac{1}{2} = 6$ , $V = S_{\text{осн}} \cdot h = 15 \cdot 6 = 90$ . (180 получится, если принять боковое ребро за высоту, а $90\sqrt{3}$ — если взять косинус вместо синуса.)
Сколько диагоналей у правильной шестиугольной призмы?
1. 6
2. 9
3. 12
4. 18
5. 27
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D 18
У каждой диагонали призмы один конец лежит на нижнем основании, другой — на верхнем. Из каждой вершины нижнего основания выходит $6 - 3 = 3$ диагонали: $6 \cdot 3 = 18$ . Диагонали оснований — это диагонали граней, их не считают (9 — число диагоналей одного шестиугольника).

Типичные ошибки

Принимать боковое ребро наклонной призмы за высоту: $V = S_{\text{осн}} \cdot h$ , где $h = l\sin\varphi$ .
Учитывать в полной поверхности только одно основание: у призмы два основания.
Путать диагональ призмы с диагональю боковой грани или основания: диагональ призмы соединяет две вершины, не лежащие в одной грани.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото