Аксиома и теорема

Аксиома — утверждение, принимаемое без доказательства, а теорема выводится из аксиом и ранее доказанных теорем. Все аксиомы планиметрии остаются верными в пространстве для каждой плоскости. Кроме них нужны новые аксиомы, описывающие расположение плоскостей в пространстве.

В разных учебниках формулировки и нумерация этих аксиом немного отличаются, но смысл один и тот же. Например, в некоторых учебниках аксиомой считается то, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость, а утверждение о трёх точках доказывается как теорема.

Основные аксиомы

Аксиома 1. В каждой плоскости есть точки, и в пространстве есть точки, не лежащие в этой плоскости.

Аксиома 2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 3. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Аксиома 4. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку, и все их общие точки лежат на этой прямой.

Из аксиомы 3 следует, что для прямой и плоскости возможны только три случая: прямая лежит в плоскости, пересекает её в одной точке или не имеет с ней общих точек. Из аксиомы 4 следует, что две различные плоскости не могут иметь ровно одну общую точку.

Следствия из аксиом

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Идея доказательства: возьмём на прямой точки $A$ и $B$ , а данную точку обозначим $C$ . Точки $A$ , $B$ , $C$ не лежат на одной прямой, поэтому по аксиоме 2 через них проходит единственная плоскость. По аксиоме 3 прямая $AB$ целиком лежит в этой плоскости.

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Берём точку пересечения и ещё по одной точке на каждой прямой и снова применяем аксиомы 2 и 3.

Итак, плоскость однозначно задаётся:

тремя точками, не лежащими на одной прямой;
прямой и не лежащей на ней точкой;
двумя пересекающимися прямыми;
двумя параллельными прямыми (параллельные прямые в пространстве по определению лежат в одной плоскости).

Через три точки одной прямой проходит бесконечно много плоскостей, а через две скрещивающиеся прямые не проходит ни одной.

Типичные рассуждения

Если две различные плоскости имеют три общие точки, то эти точки лежат на одной прямой. Значит, если у плоскостей есть три общие точки, не лежащие на одной прямой, то плоскости совпадают.
Три прямые, попарно пересекающиеся, но не проходящие через одну точку, лежат в одной плоскости: две из них задают плоскость, а третья имеет с этой плоскостью две общие точки.
Три прямые, проходящие через одну точку, могут не лежать в одной плоскости: пример — три ребра куба, выходящие из одной вершины.
При построении сечений многогранников, чтобы найти линию пересечения двух плоскостей, достаточно найти две их общие точки.

Запомните

Аксиома принимается без доказательства, теорема доказывается на основе аксиом.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
Плоскость однозначно задают: три точки не на одной прямой, прямая и точка вне её, две пересекающиеся или две параллельные прямые.

Разобранные примеры

Пример 1
Точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ не лежат в одной плоскости. а) Могут ли какие-либо три из них лежать на одной прямой? б) Сколько существует плоскостей, проходящих через каждые три из этих точек?
Решение
а) Предположим, что, например, $A$ , $B$ , $C$ лежат на прямой $a$ . Точка $D$ не лежит на $a$ (иначе все четыре точки лежали бы на одной прямой, а через прямую проходит плоскость). По теореме 1 через прямую $a$ и точку $D$ проходит плоскость. Она содержит все четыре точки, что противоречит условию. Значит, никакие три точки не лежат на одной прямой.

б) Тогда каждые три точки задают единственную плоскость: $ABC$ , $ABD$ , $ACD$ , $BCD$ . Эти плоскости различны: если бы, например, $ABC$ и $ABD$ совпадали, все четыре точки лежали бы в одной плоскости. Число плоскостей $C_4^3 = 4$ .

Ответ: а) не могут; б) 4 плоскости.
Пример 2
Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$ . Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$ , а прямая $AB$ пересекает плоскость $\beta$ в точке $M$ . Докажите, что точка $M$ лежит на прямой $c$ .
Решение
1. Точки $A$ и $B$ лежат в $\alpha$ , поэтому по аксиоме 3 вся прямая $AB$ лежит в $\alpha$ . Значит, $M \in \alpha$ .
2. По условию $M \in \beta$ .
3. $M$ — общая точка двух плоскостей. По аксиоме 4 все общие точки двух плоскостей лежат на линии их пересечения, то есть $M \in c$ .
Это рассуждение часто используется при построении сечений многогранников: точку пересечения прямой с плоскостью ищут на линии пересечения плоскостей.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Что из перечисленного не задаёт плоскость однозначно?
1. Три вершины треугольника
2. Две пересекающиеся прямые
3. Три точки, лежащие на одной прямой
4. Две параллельные прямые
5. Прямая и точка, не лежащая на ней
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C Три точки, лежащие на одной прямой
Через три точки одной прямой проходит бесконечно много плоскостей: все плоскости, содержащие эту прямую. В остальных случаях плоскость единственна; вершины треугольника не лежат на одной прямой.
В пространстве даны 5 точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Сколько существует плоскостей, проходящих через каждые три из этих точек?
1. 5
2. 10
3. 15
4. 20
5. 60
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 10
Раз никакие четыре точки не лежат в одной плоскости, то никакие три не лежат на одной прямой, и каждая тройка задаёт плоскость. Разные тройки дают разные плоскости, иначе четыре точки лежали бы в одной плоскости. $C_5^3 = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6} = 10$ . (60 получится, если учитывать порядок точек, но $ABC$ и $BAC$ — одна и та же плоскость.)
Какое утверждение верно?
1. Две различные плоскости могут иметь ровно одну общую точку.
2. Через любые три точки проходит ровно одна плоскость.
3. Три прямые, проходящие через одну точку, всегда лежат в одной плоскости.
4. Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
5. Через две скрещивающиеся прямые можно провести плоскость.
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
D — это аксиома 3. A неверно: две различные плоскости с общей точкой пересекаются по прямой. B неверно: точки могут лежать на одной прямой. C неверно: три ребра куба из одной вершины не лежат в одной плоскости. E неверно: скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.

Типичные ошибки

Считать, что через любые три точки проходит одна плоскость: если точки лежат на одной прямой, плоскостей бесконечно много.
Думать, что две плоскости могут иметь ровно одну общую точку: если общая точка есть, плоскости обязательно пересекаются по прямой.
Считать любые две прямые без общих точек параллельными: в пространстве они могут быть скрещивающимися. Также при подсчёте плоскостей часто берут размещения вместо сочетаний.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото