Основные фигуры и обозначения

В планиметрии все фигуры лежали в одной плоскости. В стереометрии фигуры расположены в пространстве, а основных фигур три: точка, прямая и плоскость. Определений им не дают, их свойства выражаются аксиомами.

Точки обозначают заглавными буквами: $A, B, C$ .
Прямые обозначают строчными буквами ( $a, b$ ) или двумя своими точками ( $AB$ ).
Плоскости обозначают греческими буквами ( $\alpha, \beta, \gamma$ ) или тремя своими точками ( $ABC$ ).

Плоскость бесконечна во все стороны. На рисунке её изображают параллелограммом, но это лишь её часть.

Записи: $A \in \alpha$ (точка принадлежит плоскости), $B \notin \alpha$ (не принадлежит), $a \subset \alpha$ (прямая лежит в плоскости).

Когда плоскость задаётся единственным образом

По аксиоме через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Из этого следует, что плоскость однозначно задаётся:

тремя точками, не лежащими на одной прямой;
прямой и точкой, не лежащей на ней;
двумя пересекающимися прямыми;
двумя параллельными прямыми.

Через одну прямую проходит бесконечно много плоскостей. Вспомните страницы раскрытой книги: все они проходят через линию корешка. По той же причине три точки на одной прямой плоскость не задают.

Ещё два важных факта: если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Если две различные плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Взаимное расположение в пространстве

Две прямые в пространстве могут быть:

пересекающимися: одна общая точка;
параллельными: лежат в одной плоскости и не имеют общих точек;
скрещивающимися: не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости.

Прямая и плоскость: прямая либо лежит в плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо параллельна ей (нет общих точек).

Две плоскости: либо пересекаются по прямой, либо параллельны.

Всё это легко увидеть на кубе. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $AB$ и $A_1B_1$ параллельны, рёбра $AB$ и $CC_1$ скрещиваются, а прямая $A_1B_1$ параллельна плоскости $ABC$ .

Задачи на число плоскостей

Если в пространстве даны $n$ точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости, то каждая тройка точек задаёт свою плоскость. Число плоскостей равно числу троек:

C_n^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}.

Аналогично, если $n$ прямых проходят через одну точку и никакие три из них не лежат в одной плоскости, то каждая пара прямых задаёт плоскость. Таких плоскостей $C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2}$ .

Запомните

Основные фигуры стереометрии: точка, прямая, плоскость.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость.
Плоскость также задают прямая и точка вне её, две пересекающиеся прямые или две параллельные прямые.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
Две прямые в пространстве без общих точек либо параллельны, либо скрещиваются.

Разобранные примеры

Пример 1
В пространстве даны 5 точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей проходит через каждые три из них?
Решение
1. Никакие три точки не лежат на одной прямой: иначе эти три точки вместе с любой четвёртой лежали бы в одной плоскости. Значит, каждая тройка задаёт плоскость.
2. Разные тройки дают разные плоскости, потому что четырёх точек в одной плоскости нет.
3. Число троек: $C_5^3 = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6} = 10$ .
Ответ: 10.
Пример 2
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ определите взаимное расположение: а) прямой $AA_1$ и плоскости $ABC$ ; б) прямой $A_1B_1$ и плоскости $ABC$ ; в) прямых $AB$ и $CC_1$ ; г) плоскостей $ABB_1$ и $ABC$ .
Решение
а) Точка $A$ лежит в плоскости $ABC$ , а $A_1$ нет. Значит, прямая $AA_1$ пересекает плоскость в одной точке $A$ . б) $A_1B_1 \parallel AB$ , прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC$ , а $A_1B_1$ в ней не лежит. Значит, $A_1B_1$ параллельна плоскости. в) Прямая $CC_1$ пересекает плоскость $ABC$ только в точке $C$ , которая не лежит на $AB$ , поэтому общих точек нет. Параллельными они тоже не являются: если бы $CC_1 \parallel AB$ , то прямая $CC_1$ была бы параллельна плоскости $ABC$ или лежала бы в ней, а она пересекает эту плоскость в одной точке. Значит, прямые скрещиваются. г) Обе плоскости проходят через точки $A$ и $B$ , поэтому пересекаются по прямой $AB$ .

Ответ: а) пересекаются; б) параллельны; в) скрещиваются; г) пересекаются по $AB$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Сколько плоскостей проходит через прямую и точку, не лежащую на ней?
1. ни одной
2. ровно одна
3. две
4. три
5. бесконечно много
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B ровно одна
Возьмём на прямой две точки. Вместе с данной точкой это три точки, не лежащие на одной прямой, а через них проходит ровно одна плоскость.
В пространстве даны 6 точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Сколько плоскостей проходит через каждые три из них?
1. 6
2. 15
3. 18
4. 20
5. 120
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D 20
Каждая тройка задаёт свою плоскость: $C_6^3 = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} = 20$ .
В каком случае плоскость НЕ задаётся единственным образом?
1. три точки, лежащие на одной прямой
2. три точки, не лежащие на одной прямой
3. две пересекающиеся прямые
4. две параллельные прямые
5. прямая и точка, не лежащая на ней
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A три точки, лежащие на одной прямой
Через три точки на одной прямой проходит эта прямая, а через прямую проходит бесконечно много плоскостей. В остальных случаях плоскость единственна.

Типичные ошибки

Считать, что любые три точки задают плоскость. Условие обязательно: точки не должны лежать на одной прямой.
Думать, что две непересекающиеся прямые обязательно параллельны. В пространстве есть скрещивающиеся прямые: они не пересекаются и не параллельны.
Принимать нарисованный параллелограмм за границу плоскости. Плоскость бесконечна, пересечение может оказаться и за пределами рисунка.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото