Многогранник: грани, рёбра, вершины и теорема Эйлера

Тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, называется многогранником.

• Эти многоугольники называются гранями.
• Стороны граней называются рёбрами; каждое ребро принадлежит ровно двум граням.
• Концы рёбер называются вершинами.
• Отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани, называется диагональю многогранника. Не путайте её с диагональю грани: в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отрезок $AC$ — диагональ грани, а $AC_1$ — диагональ куба.

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Призма и пирамида с выпуклым основанием выпуклы. В каждой вершине выпуклого многогранника сходятся не менее трёх граней, а сумма плоских углов при вершине меньше $360^\circ$.

Для любого выпуклого многогранника:

В − Р + Г = 2,

где В — число вершин, Р — число рёбер, Г — число граней. Проверим на кубе: $8 - 12 + 6 = 2$. Для простейшего многогранника, тетраэдра (треугольной пирамиды): $4 - 6 + 4 = 2$. Если известны два из трёх чисел, теорема Эйлера сразу даёт третье.

Число рёбер можно найти и через грани: складываем количество сторон всех граней и делим на 2, так как каждое ребро принадлежит двум граням и посчитано дважды. То же правило работает для вершин: если сложить число рёбер, выходящих из каждой вершины, и разделить на 2, получится число рёбер, ведь у каждого ребра два конца.

У призмы с $n$-угольным основанием:

• вершин $2n$;
• рёбер $3n$ ($n$ в нижнем основании, $n$ в верхнем и $n$ боковых);
• граней $n + 2$ ($n$ боковых и 2 основания).

У пирамиды с $n$-угольным основанием:

• вершин $n + 1$;
• рёбер $2n$;
• граней $n + 1$.

В обоих случаях теорема Эйлера выполняется: $2n - 3n + (n + 2) = 2$ и $(n + 1) - 2n + (n + 1) = 2$.

Диагонали призмы. Из каждой вершины нижнего основания можно провести диагонали к $n - 3$ вершинам верхнего: вершина над ней и две соседние с той лежат с ней в одной боковой грани. Отрезки между вершинами одного основания лежат в грани основания. Поэтому у призмы $n(n - 3)$ диагоналей: у треугольной призмы их нет, у куба 4, у шестиугольной призмы 18. У пирамиды диагоналей нет.

Если у выпуклого многогранника $m$ вершин, то сумма углов всех его граней равна $360^\circ(m - 2)$. Это следует из теоремы Эйлера и формулы суммы углов многоугольника. Для куба: $360^\circ \cdot 6 = 2160^\circ$, и действительно, у шести квадратов сумма углов $6 \cdot 360^\circ = 2160^\circ$.