Çoxüzlü: üzlər, tillər, təpələr və Eyler teoremi

Səthi sonlu sayda çoxbucaqlıdan ibarət olan cismə çoxüzlü deyilir.

• Bu çoxbucaqlılar çoxüzlünün üzləridir.
• Üzlərin tərəfləri tillərdir; hər til iki üzün ortaq tərəfidir.
• Tillərin ucları təpələrdir.
• Eyni üzə aid olmayan iki təpəni birləşdirən parça çoxüzlünün diaqonalıdır. Onu üzün diaqonalı ilə qarışdırmayın: $ABCDA_1B_1C_1D_1$ kubunda $AC$ üzün diaqonalı, $AC_1$ isə kubun diaqonalıdır.

Çoxüzlü hər üzünün müstəvisinin bir tərəfində yerləşirsə, ona qabarıq çoxüzlü deyilir. Oturacağı qabarıq çoxbucaqlı olan prizma və piramida qabarıq çoxüzlüdür. Qabarıq çoxüzlünün hər təpəsində ən azı üç üz birləşir və həmin təpədəki müstəvi bucaqların cəmi $360^\circ$-dən kiçikdir.

İstənilən qabarıq çoxüzlüdə:

təpələrin sayı − tillərin sayı + üzlərin sayı = 2.

Kub üçün yoxlayaq: $8 - 12 + 6 = 2$. Ən sadə çoxüzlü olan tetraedr (üçbucaqlı piramida) üçün: $4 - 6 + 4 = 2$. Bu üç saydan ikisi məlumdursa, Eyler teoremi üçüncünü dərhal verir.

Tillərin sayını üzlərə görə də tapmaq olar: bütün üzlərin tərəflərinin sayını toplayıb 2-yə bölürük, çünki hər til iki üzə aiddir və iki dəfə sayılır. Eyni qayda təpələr üçün də doğrudur: hər təpədən çıxan tillərin sayını toplayıb 2-yə bölsək, tillərin sayı alınır, çünki hər tilin iki ucu var.

Oturacağı $n$-bucaqlı olan prizmada:

• təpələr: $2n$;
• tillər: $3n$ (aşağı oturacaqda $n$, yuxarıda $n$ və $n$ yan til);
• üzlər: $n + 2$ ($n$ yan üz və 2 oturacaq).

Oturacağı $n$-bucaqlı olan piramidada:

• təpələr: $n + 1$;
• tillər: $2n$;
• üzlər: $n + 1$.

Hər iki halda Eyler teoremi ödənir: $2n - 3n + (n + 2) = 2$ və $(n + 1) - 2n + (n + 1) = 2$.

Prizmanın diaqonalları. Aşağı oturacağın hər təpəsindən yuxarı oturacağın $n - 3$ təpəsinə diaqonal çəkmək olar: onun üstündəki təpə və ona qonşu iki təpə həmin təpə ilə eyni yan üzdədir. Bir oturacağın təpələrini birləşdirən parçalar isə oturacaq üzündə qalır. Ona görə prizmanın $n(n - 3)$ diaqonalı var: üçbucaqlı prizmanın diaqonalı yoxdur, kubun 4, altıbucaqlı prizmanın 18 diaqonalı var. Piramidanın diaqonalı yoxdur.

Qabarıq çoxüzlünün təpələrinin sayı $T$ olarsa, bütün üzlərindəki bucaqların cəmi $360^\circ(T - 2)$-yə bərabərdir. Bu, Eyler teoremindən və çoxbucaqlının bucaqları cəmi düsturundan alınır. Kub üçün: $360^\circ \cdot 6 = 2160^\circ$, doğrudan da 6 kvadratın bucaqları cəmi $6 \cdot 360^\circ = 2160^\circ$-dir.