Silindr

Düzbucaqlını tərəflərindən biri ətrafında fırlatdıqda silindr alınır. Fırlanma oxu olan tərəf silindrin hündürlüyü, ona qonşu tərəf isə oturacağın radiusu olur.

Oturacaqlar: paralel müstəvilərdə yerləşən, radiusu $R$ olan iki bərabər dairə.
Ox: oturacaqların mərkəzlərindən keçən düz xətt.
Doğuranlar: oturacaq çevrələrinin uyğun nöqtələrini birləşdirən parçalar. Onların hamısı bərabərdir və oxa paraleldir.
Hündürlük $h$ : oturacaqların müstəviləri arasındakı məsafə. Düz silindrdə doğuran hündürlüyə bərabərdir.

Ox kəsiyi (silindrin oxundan keçən müstəvi ilə kəsiyi) tərəfləri $2R$ və $h$ olan düzbucaqlıdır. Ox kəsiyi kvadratdırsa, $h = 2R$ olur. Ox kəsiyinin diaqonalı $d = \sqrt{4R^2 + h^2}$ -dir. Bu diaqonal oturacaq müstəvisi ilə $\beta$ bucağı əmələ gətirirsə, $\operatorname{tg}\beta = \dfrac{h}{2R}$ olur.

Silindrin yan səthini doğuran boyunca kəsib açsaq, tərəfləri $2\pi R$ və $h$ olan düzbucaqlı alınır: bu, yan səthin açılışıdır. Açılışın bir tərəfi oturacaq çevrəsinin uzunluğuna, digəri hündürlüyə bərabərdir.

Konus

Düzbucaqlı üçbucağı katetlərindən biri ətrafında fırlatdıqda konus alınır.

Təpə: fırlanma oxu üzərində yerləşən, oturacaqdan kənar təpə.
Oturacaq: radiusu $R$ olan dairə; $R$ fırlanma oxu olmayan ikinci katetdir.
Hündürlük $h$ : təpədən oturacağın mərkəzinə qədər parça, yəni fırlanma oxu olan katet.
Doğuran $l$ : təpəni oturacaq çevrəsinin nöqtəsi ilə birləşdirən parça, yəni üçbucağın hipotenuzu.

$R$ , $h$ və $l$ düzbucaqlı üçbucaq əmələ gətirir, ona görə

l^2 = R^2 + h^2.

Doğuranla oturacaq müstəvisi arasındakı bucaq $\varphi$ olarsa, $\cos\varphi = \dfrac{R}{l}$ , $\sin\varphi = \dfrac{h}{l}$ .

Ox kəsiyi yan tərəfləri $l$ , oturacağı $2R$ , hündürlüyü $h$ olan bərabəryanlı üçbucaqdır. Ox kəsiyi bərabərtərəfli üçbucaqdırsa, $l = 2R$ olur. Hündürlük ox kəsiyinin təpə bucağını yarıya bölür: bu bucaq $2\beta$ olarsa, $\sin\beta = \dfrac{R}{l}$ .

Konusun yan səthinin açılışı

Konusun yan səthini doğuran boyunca kəsib açsaq, dairə sektoru alınır:

sektorun radiusu doğurana bərabərdir: $l$ ;
sektorun qövsünün uzunluğu oturacaq çevrəsinin uzunluğuna bərabərdir: $2\pi R$ .

Buradan sektorun mərkəzi bucağı tapılır:

\alpha = \frac{R}{l} \cdot 360^\circ.

Məsələn, açılış yarımdairədirsə ( $\alpha = 180^\circ$ ), $l = 2R$ olur.

Səth və həcm düsturları

Bu düsturlar ayrıca dərslərdə ətraflı izah olunur, burada isə yadda saxlamaq üçün verilir.

Silindr:

$S_{\text{yan}} = 2\pi Rh$ , $S_{\text{tam}} = 2\pi R(R + h)$ , $V = \pi R^2 h$ .

Konus:

$S_{\text{yan}} = \pi R l$ , $S_{\text{tam}} = \pi R(R + l)$ , $V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h$ .

Yan səthin düsturları açılışdan alınır. Silindrin açılışı düzbucaqlıdır, sahəsi $2\pi R \cdot h$ . Konusun açılışı sektordur, onun sahəsi qövs uzunluğu ilə radiusun hasilinin yarısıdır: $\dfrac{1}{2} \cdot 2\pi R \cdot l = \pi R l$ .

Diqqət: konusun həcmində hündürlük $h$ , yan səthində isə doğuran $l$ iştirak edir.

Yadda saxla

Silindr düzbucaqlının, konus isə düzbucaqlı üçbucağın katet ətrafında fırlanmasından alınır.
Silindrin ox kəsiyi tərəfləri $2R$ və $h$ olan düzbucaqlıdır; konusun ox kəsiyi oturacağı $2R$ olan bərabəryanlı üçbucaqdır.
Konusda $l^2 = R^2 + h^2$ .
Konusun yan səthinin açılışı radiusu $l$ olan sektordur, onun mərkəzi bucağı $\dfrac{R}{l} \cdot 360^\circ$ -dir.
Silindr: $V = \pi R^2 h$ ; konus: $V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h$ , $S_{\text{yan}} = \pi R l$ .

Həll olunmuş misallar

Misal 1
Konusun doğuranı 10, oturacağının radiusu 6-dır. Konusun hündürlüyünü, ox kəsiyinin sahəsini, yan səthinin açılışının mərkəzi bucağını və həcmini tapın.
Həlli
1. $h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$ .
2. Ox kəsiyi oturacağı $2R = 12$ , hündürlüyü $h = 8$ olan üçbucaqdır: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ .
3. Açılışın mərkəzi bucağı: $\alpha = \dfrac{6}{10} \cdot 360^\circ = 216^\circ$ .
4. Həcm: $V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi$ .
Cavab: $h = 8$ ; 48; $216^\circ$ ; $96\pi$ .
Misal 2
Silindrin ox kəsiyi sahəsi 36 olan kvadratdır. Silindrin tam səthinin sahəsini və həcmini tapın.
Həlli
1. Kvadratın tərəfi $\sqrt{36} = 6$ . Ox kəsiyinin tərəfləri $2R$ və $h$ olduğu üçün $h = 6$ və $2R = 6$ , yəni $R = 3$ .
2. $S_{\text{tam}} = 2\pi R(R + h) = 2\pi \cdot 3 \cdot 9 = 54\pi$ .
3. $V = \pi R^2 h = \pi \cdot 9 \cdot 6 = 54\pi$ .
Cavab: $S_{\text{tam}} = 54\pi$ , $V = 54\pi$ .

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Tərəfləri 3 və 5 olan düzbucaqlı uzunluğu 5 olan tərəfi ətrafında fırladılır. Alınan silindrin həcmini tapın.
1. $15\pi$
2. $30\pi$
3. $45\pi$
4. $75\pi$
5. $90\pi$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C $45\pi$
Fırlanma oxu uzunluğu 5 olan tərəfdir, ona görə $h = 5$ , radius isə digər tərəfdir: $R = 3$ . $V = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = 45\pi$ . ( $75\pi$ düzbucaqlını digər tərəfi ətrafında fırlatdıqda alınır.)
Konusun ox kəsiyi tərəfi 8 olan bərabərtərəfli üçbucaqdır. Konusun yan səthinin sahəsini tapın.
1. $16\pi$
2. $32\pi$
3. $48\pi$
4. $64\pi$
5. $16\sqrt{3}\pi$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B $32\pi$
Ox kəsiyinin yan tərəfi doğurandır: $l = 8$ ; oturacağı diametrdir: $2R = 8$ , $R = 4$ . $S_{\text{yan}} = \pi R l = \pi \cdot 4 \cdot 8 = 32\pi$ . ( $48\pi$ tam səthin sahəsidir.)
Konusun yan səthinin açılışı yarımdairədir. Konusun doğuranı ilə oturacaq müstəvisi arasındakı bucağı tapın.
1. $15^\circ$
2. $30^\circ$
3. $45^\circ$
4. $60^\circ$
5. $75^\circ$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D $60^\circ$
Açılışın bucağı $180^\circ = \dfrac{R}{l} \cdot 360^\circ$ , buradan $\dfrac{R}{l} = \dfrac{1}{2}$ . Onda $\cos\varphi = \dfrac{R}{l} = \dfrac{1}{2}$ , yəni $\varphi = 60^\circ$ .

Tipik səhvlər

Konusda hündürlüklə doğuranı qarışdırmaq: həcm düsturunda $h$ , yan səthin düsturunda isə $l$ iştirak edir.
Silindrin ox kəsiyinin tərəflərini $R$ və $h$ götürmək. Doğrusu: $2R$ və $h$ , çünki kəsik diametrdən keçir.
Düzbucaqlını fırladanda radiusu səhv seçmək: fırlanma oxu olan tərəf hündürlük, digər tərəf radiusdur. Konusun həcmində $\dfrac{1}{3}$ vuruğunu unutmaq da tez-tez rast gəlir.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et