Ломаная линия

Фигура, состоящая из отрезков $A_1A_2,\ A_2A_3,\ \ldots,\ A_{n-1}A_n$, у которой соседние отрезки не лежат на одной прямой, называется ломаной $A_1A_2\ldots A_n$.

• Точки $A_1,\ A_2,\ \ldots,\ A_n$ — вершины ломаной.
• Отрезки — её звенья.
• $A_1$ и $A_n$ — концы ломаной.

У ломаной с $n$ вершинами число звеньев равно $n-1$. Например, у ломаной $ABCD$ 4 вершины и 3 звена: $AB$, $BC$, $CD$. Соседние звенья имеют общий конец, который является их общей вершиной.

Длиной ломаной называется сумма длин её звеньев:

Главное свойство: длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы:

Это следует из неравенства треугольника, применённого несколько раз. Например, для $ABCD$ сначала $AB+BC\ge AC$, затем $AC+CD\ge AD$; значит, $AB+BC+CD\ge AD$. Отсюда вывод: кратчайший путь между двумя точками — отрезок, который их соединяет.

Ломаная без самопересечений называется простой.

Если концы ломаной совпадают, её называют замкнутой. Например, у замкнутой ломаной $ABCDA$ 4 вершины ($A$, $B$, $C$, $D$) и 4 звена: последнее звено $DA$ замыкает ломаную. В замкнутой ломаной звеньев столько же, сколько вершин.

Из главного свойства следует и факт для замкнутой ломаной: любое её звено не больше суммы остальных звеньев, так как остальные звенья образуют ломаную между концами этого звена. Простая замкнутая ломаная приводит к понятию многоугольника.

На экзамене задачи о ломаной обычно бывают таких типов:

1. Задачи на подсчёт. Ищут связь между числом вершин, звеньев и длиной. Если все звенья равны, длина равна произведению числа звеньев на длину одного звена.
2. Задачи на отношение. Звенья даны в отношении, например $1:2:3$; каждое звено выражают через $x$ и составляют уравнение для длины.
3. Задачи на оценку. Дано расстояние между концами, и спрашивают, какой может быть длина ломаной; здесь применяется главное свойство.
4. Клетчатая бумага. Если звенья идут по сторонам клеток, длину находят подсчётом клеток. Длину наклонного звена вычисляют по теореме Пифагора: звено, которое проходит 3 клетки по горизонтали и 4 по вертикали, имеет длину $\sqrt{3^2+4^2}=5$ клеток.