Сумма внутренних углов треугольника

Теорема. Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$:

Доказательство. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ проведём прямую $a$, параллельную стороне $AC$. В точке $B$ образуются три угла: $\angle1$, прилежащий к стороне $BA$, угол треугольника $\angle B$ и $\angle2$, прилежащий к стороне $BC$. Вместе они составляют развёрнутый угол:

• $\angle1=\angle A$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $a$ и $AC$ и секущей $AB$.
• $\angle2=\angle C$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $a$ и $AC$ и секущей $BC$.

Подставив эти равенства, получаем $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$. Теорема не зависит ни от формы, ни от размеров треугольника.

• В треугольнике может быть не более одного прямого или тупого угла, так как сумма двух таких углов уже не меньше $180^\circ$. Значит, у любого треугольника есть хотя бы два острых угла.
• В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$.
• Каждый угол равностороннего треугольника равен $\dfrac{180^\circ}{3}=60^\circ$.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если угол при вершине равен $\beta$, то каждый угол при основании равен $\dfrac{180^\circ-\beta}{2}$. Угол при основании всегда острый, поэтому прямым или тупым может быть только угол при вершине.
• Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то равны и третьи углы.
• Внешний угол при вершине $C$ равен $180^\circ-\angle C=\angle A+\angle B$, то есть сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

1. Углы заданы отношением. Если $\angle A:\angle B:\angle C=m:n:k$, записываем углы как $mx$, $nx$, $kx$: $(m+n+k)x=180^\circ$.
2. Углы заданы выражениями. Например, $x+20^\circ$, $2x$, $3x-20^\circ$. Приравниваем сумму к $180^\circ$, находим $x$, затем вычисляем каждый угол отдельно.
3. В равнобедренном треугольнике дан один угол. Если не сказано, угол при вершине это или угол при основании, рассматриваем оба случая. Например, если один из углов равен $50^\circ$, то углы равны либо $50^\circ$, $65^\circ$, $65^\circ$, либо $50^\circ$, $50^\circ$, $80^\circ$. Если данный угол равен $90^\circ$ или больше, он может быть только углом при вершине.
4. Угол между биссектрисами. Если биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $O$, то в треугольнике $AOB$

5. Высота и угол. Если углы $A$ и $B$ острые, высота $CH$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника. В треугольнике $ACH$ сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle ACH=90^\circ-\angle A$. Например, если $\angle A=50^\circ$, то $\angle ACH=40^\circ$.