Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi

Teorem. Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi $180^\circ$-dir:

İsbat. $ABC$ üçbucağının $B$ təpəsindən $AC$ tərəfinə paralel $a$ düz xəttini çəkək. $B$ nöqtəsində üç bucaq alınır: $BA$ tərəfinə bitişik $\angle1$, üçbucağın $\angle B$ bucağı və $BC$ tərəfinə bitişik $\angle2$. Onlar birlikdə açıq bucaq əmələ gətirir:

• $\angle1=\angle A$, çünki bunlar $a\parallel AC$ düz xətləri və $AB$ kəsəni ilə əmələ gələn daxili çarpaz bucaqlardır.
• $\angle2=\angle C$, çünki bunlar $a\parallel AC$ düz xətləri və $BC$ kəsəni ilə əmələ gələn daxili çarpaz bucaqlardır.

Bərabərlikləri yerinə yazsaq, $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$ alınır. Teorem üçbucağın formasından və ölçüsündən asılı deyil.

• Üçbucağın ən çoxu bir düz və ya bir kor bucağı ola bilər, çünki iki belə bucağın cəmi artıq $180^\circ$-dən kiçik deyil. Deməli, hər üçbucağın ən azı iki iti bucağı var.
• Düzbucaqlı üçbucaqda iti bucaqların cəmi $90^\circ$-dir.
• Bərabərtərəfli üçbucağın hər bucağı $\dfrac{180^\circ}{3}=60^\circ$-dir.
• Bərabəryanlı üçbucaqda oturacaq bucaqları bərabərdir. Təpə bucağı $\beta$ olarsa, hər oturacaq bucağı $\dfrac{180^\circ-\beta}{2}$-dir. Oturacaq bucağı həmişə itidir, ona görə düz və ya kor bucaq yalnız təpə bucağı ola bilər.
• İki üçbucağın iki bucağı uyğun olaraq bərabərdirsə, üçüncü bucaqları da bərabərdir.
• $C$ təpəsindəki xarici bucaq $180^\circ-\angle C=\angle A+\angle B$, yəni ona qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

1. Bucaqlar nisbətlə verilir. $\angle A:\angle B:\angle C=m:n:k$ olarsa, bucaqları $mx$, $nx$, $kx$ kimi yazırıq: $(m+n+k)x=180^\circ$.
2. Bucaqlar ifadə ilə verilir. Məsələn, $x+20^\circ$, $2x$, $3x-20^\circ$. Cəmi $180^\circ$-yə bərabərləşdirib $x$-i tapırıq, sonra hər bucağı ayrıca hesablayırıq.
3. Bərabəryanlı üçbucaqda bir bucaq verilir. Onun təpə bucağı, yoxsa oturacaq bucağı olduğu deyilməyibsə, iki halı yoxlayırıq. Məsələn, bucaqlardan biri $50^\circ$-dirsə, bucaqlar ya $50^\circ$, $65^\circ$, $65^\circ$, ya da $50^\circ$, $50^\circ$, $80^\circ$ olur. Verilmiş bucaq $90^\circ$ və ya ondan böyükdürsə, o yalnız təpə bucağıdır.
4. Tənbölənlər arasındakı bucaq. $A$ və $B$ bucaqlarının tənbölənləri $O$ nöqtəsində kəsişirsə, $AOB$ üçbucağında

5. Hündürlük və bucaq. $\angle A$ və $\angle B$ iti olduqda $CH$ hündürlüyü $ABC$ üçbucağını iki düzbucaqlı üçbucağa bölür. $ACH$ üçbucağında iti bucaqların cəmi $90^\circ$ olduğundan $\angle ACH=90^\circ-\angle A$. Məsələn, $\angle A=50^\circ$ olarsa, $\angle ACH=40^\circ$.