Tərif və elementlər

Bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtədən və onları cüt-cüt birləşdirən üç parçadan ibarət fiqura üçbucaq deyilir. Nöqtələr üçbucağın təpələri, parçalar isə onun tərəfləridir. $ABC$ üçbucağı qısa şəkildə $\triangle ABC$ kimi yazılır.

Üçbucağın əsas elementləri 3 tərəf və 3 bucaqdır: $\angle A$ , $\angle B$ , $\angle C$ .

$BC$ tərəfi $A$ təpəsinin, yəni $\angle A$ -nın qarşısındadır, onu $a$ ilə işarə edirlər. Eyni qayda ilə $AC=b$ , $AB=c$ .
$\angle A$ bucağı $AB$ və $AC$ tərəfləri arasındadır, bu tərəflər ona bitişikdir. $\angle A$ və $\angle B$ isə $AB$ tərəfinə bitişik bucaqlardır.

Perimetr və bucaqların cəmi

Üçbucağın perimetri bütün tərəflərinin cəmidir: $P=a+b+c$ . Tərəflər nisbətlə verilən məsələlərdə hər tərəfi nisbətin uyğun ədədi ilə $x$ -in hasili kimi yazırıq (məsələn, $3x$ , $4x$ , $5x$ ) və perimetr üçün tənlik qururuq. Məsələn, tərəfləri 5 sm, 7 sm və 8 sm olan üçbucağın perimetri $5+7+8=20$ sm-dir.

İstənilən üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi $180^\circ$ -dir: $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$ . Buna görə iki bucaq məlumdursa, üçüncüsü həmişə tapılır. Üçbucağın düz və ya kor bucağı ən çoxu bir ola bilər, çünki iki belə bucağın cəmi artıq $180^\circ$ -dən kiçik olmur.

Bucaqlarına görə üçbucaq itibucaqlı (bütün bucaqları iti), düzbucaqlı (bir bucağı $90^\circ$ ) və ya korbucaqlı (bir bucağı $90^\circ$ -dən böyük) olur. Tərəflərinə görə isə müxtəliftərəfli, bərabəryanlı (iki tərəfi bərabər) və ya bərabərtərəfli (üç tərəfi bərabər) olur. Bərabərtərəfli üçbucağın hər bucağı $60^\circ$ -dir.

Tərəflər və bucaqlar arasındakı əlaqə

Üçbucaqda böyük tərəfin qarşısında böyük bucaq, böyük bucağın qarşısında isə böyük tərəf durur. Bərabər tərəflərin qarşısındakı bucaqlar da bərabərdir.
Üçbucaq bərabərsizliyi: hər tərəf qalan iki tərəfin cəmindən kiçikdir. Üç parçadan üçbucaq qurmaq olarmı sualında ən böyük parçanın digər ikisinin cəmindən kiçik olduğunu yoxlamaq kifayətdir.

Məsələn, 3, 4, 6 parçalarından üçbucaq qurmaq olar, çünki $6<3+4$ . 2, 3, 5 parçalarından isə olmaz, çünki $5=2+3$ : bu halda üç nöqtə bir düz xətt üzərinə düşür.

Digər vacib parçalar

Hər üçbucaqda üç median, üç tənbölən və üç hündürlük var:

Median təpəni qarşı tərəfin orta nöqtəsi ilə birləşdirən parçadır.
Tənbölən bucağı yarıya bölən və təpədən qarşı tərəfə qədər çəkilən parçadır.
Hündürlük təpədən qarşı tərəfin yerləşdiyi düz xəttə endirilmiş perpendikulyardır. Korbucaqlı üçbucaqda iki hündürlük üçbucaqdan kənara düşür.

Yadda saxla

Üçbucağın əsas elementləri 3 tərəf və 3 bucaqdır; $a=BC$ tərəfi $\angle A$ -nın qarşısındadır.
$P=a+b+c$ .
$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$ .
Böyük tərəfin qarşısında böyük bucaq durur və əksinə.
Üçbucaq bərabərsizliyi: $|b-c|<a<b+c$ .

Həll olunmuş misallar

Misal 1
Üçbucağın tərəfləri $3:4:5$ nisbətindədir, perimetri isə 36 sm-dir. Ən böyük tərəfi tapın. Üçbucağın ən böyük bucağı hansı tərəfin qarşısındadır?
Həlli
1. Tərəfləri $3x$ , $4x$ , $5x$ ilə işarə edək: $3x+4x+5x=36$ , $12x=36$ , $x=3$ .
2. Tərəflər: 9 sm, 12 sm, 15 sm. Ən böyüyü 15 sm-dir. Yoxlama: $15<9+12$ , üçbucaq mövcuddur.
3. Böyük tərəfin qarşısında böyük bucaq durur, ona görə ən böyük bucaq 15 sm-lik tərəfin qarşısındadır.
Cavab: 15 sm; ən böyük bucaq bu tərəfin qarşısındadır.
Misal 2
$ABC$ üçbucağında $\angle A=50^\circ$ , $\angle B$ isə $\angle C$ -dən $20^\circ$ böyükdür. $\angle B$ -ni tapın və üçbucağın ən böyük tərəfini göstərin.
Həlli
1. $\angle B+\angle C=180^\circ-50^\circ=130^\circ$ .
2. $\angle C=x$ olsun, onda $\angle B=x+20^\circ$ : $2x+20^\circ=130^\circ$ , $x=55^\circ$ .
3. $\angle B=75^\circ$ , $\angle C=55^\circ$ . Ən böyük bucaq $\angle B$ -dir.
4. Ən böyük tərəf ən böyük bucağın qarşısındadır, bu da $AC$ tərəfidir.
Cavab: $\angle B=75^\circ$ ; ən böyük tərəf $AC$ -dir.

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

$ABC$ üçbucağının perimetri 30 sm-dir, $AB=8$ sm, $BC$ tərəfi isə $AC$ -dən 4 sm uzundur. $BC$ -ni tapın.
1. 9 sm
2. 13 sm
3. 11 sm
4. 14 sm
5. 12 sm
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B 13 sm
$AC+BC=30-8=22$ . $AC=x$ olsun, onda $x+(x+4)=22$ , $x=9$ . Deməli, $BC=9+4=13$ sm.
Hansı üç parçadan üçbucaq qurmaq olar?
1. 2 sm, 3 sm, 5 sm
2. 1 sm, 2 sm, 4 sm
3. 4 sm, 5 sm, 10 sm
4. 6 sm, 2 sm, 3 sm
5. 3 sm, 4 sm, 6 sm
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: E 3 sm, 4 sm, 6 sm
Ən böyük parça qalan ikisinin cəmindən kiçik olmalıdır: $6<3+4$ . A variantında $5=2+3$ , bu halda üçbucaq alınmır; B, C, D variantlarında ən böyük parça cəmdən böyükdür.
$ABC$ üçbucağında $\angle A=40^\circ$ , $\angle B=75^\circ$ . Tərəflərin düzgün müqayisəsi hansıdır?
1. $AB<BC<AC$
2. $AC<AB<BC$
3. $BC<AC<AB$
4. $BC<AB<AC$
5. $AB<AC<BC$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D $BC<AB<AC$
$\angle C=180^\circ-40^\circ-75^\circ=65^\circ$ . Bucaqlar: $\angle A<\angle C<\angle B$ . Onların qarşısındakı tərəflər eyni qaydada düzülür: $BC<AB<AC$ .

Tipik səhvlər

Tərəfi qarşı bucaqla deyil, bitişik bucaqla əlaqələndirmək: $\angle A$ -nın qarşısındakı tərəf $BC$ -dir.
Üçbucaq bərabərsizliyində bərabərlik halını ( $5=2+3$ ) üçbucaq saymaq.
Hündürlüyün həmişə üçbucağın daxilinə düşdüyünü düşünmək: korbucaqlı üçbucaqda iki hündürlük kənara düşür.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et