Определение и элементы

Треугольником называется фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки — вершины треугольника, отрезки — его стороны. Треугольник $ABC$ коротко записывают как $\triangle ABC$ .

Основные элементы треугольника — 3 стороны и 3 угла: $\angle A$ , $\angle B$ , $\angle C$ .

Сторона $BC$ противолежит вершине $A$ , то есть углу $A$ ; её обозначают $a$ . Аналогично $AC=b$ , $AB=c$ .
Угол $A$ заключён между сторонами $AB$ и $AC$ , эти стороны к нему прилежат. А углы $A$ и $B$ прилежат к стороне $AB$ .

Периметр и сумма углов

Периметр треугольника равен сумме всех его сторон: $P=a+b+c$ . Если стороны заданы отношением, каждую сторону записывают как произведение соответствующего числа отношения на $x$ (например, $3x$ , $4x$ , $5x$ ) и составляют уравнение для периметра. Например, периметр треугольника со сторонами 5 см, 7 см и 8 см равен $5+7+8=20$ см.

Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$ : $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$ . Поэтому по двум углам всегда находится третий. В треугольнике может быть не больше одного прямого или тупого угла, так как сумма двух таких углов уже не меньше $180^\circ$ .

По углам треугольники бывают остроугольные (все углы острые), прямоугольные (один угол равен $90^\circ$ ) и тупоугольные (один угол больше $90^\circ$ ). По сторонам — разносторонние, равнобедренные (две стороны равны) и равносторонние (все три стороны равны). Каждый угол равностороннего треугольника равен $60^\circ$ .

Связь сторон и углов

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. Против равных сторон лежат равные углы.
Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других. Чтобы узнать, можно ли построить треугольник из трёх отрезков, достаточно проверить, что наибольший отрезок меньше суммы двух других.

Например, из отрезков 3, 4, 6 треугольник построить можно, так как $6<3+4$ . А из отрезков 2, 3, 5 нельзя, так как $5=2+3$ : в этом случае три точки оказываются на одной прямой.

Другие важные отрезки

В каждом треугольнике три медианы, три биссектрисы и три высоты:

Медиана — отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны.
Биссектриса — отрезок биссектрисы угла от вершины до противолежащей стороны.
Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противолежащую сторону. В тупоугольном треугольнике две высоты лежат вне треугольника.

Запомните

Основные элементы треугольника — 3 стороны и 3 угла; сторона $a=BC$ противолежит углу $A$ .
$P=a+b+c$ .
$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$ .
Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Неравенство треугольника: $|b-c|<a<b+c$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Стороны треугольника относятся как $3:4:5$ , а его периметр равен 36 см. Найдите наибольшую сторону. Против какой стороны лежит наибольший угол треугольника?
Решение
1. Обозначим стороны $3x$ , $4x$ , $5x$ : $3x+4x+5x=36$ , $12x=36$ , $x=3$ .
2. Стороны: 9 см, 12 см, 15 см. Наибольшая равна 15 см. Проверка: $15<9+12$ , треугольник существует.
3. Против большей стороны лежит больший угол, поэтому наибольший угол лежит против стороны 15 см.
Ответ: 15 см; наибольший угол лежит против этой стороны.
Пример 2
В треугольнике $ABC$ $\angle A=50^\circ$ , а $\angle B$ на $20^\circ$ больше $\angle C$ . Найдите $\angle B$ и укажите наибольшую сторону треугольника.
Решение
1. $\angle B+\angle C=180^\circ-50^\circ=130^\circ$ .
2. Пусть $\angle C=x$ , тогда $\angle B=x+20^\circ$ : $2x+20^\circ=130^\circ$ , $x=55^\circ$ .
3. $\angle B=75^\circ$ , $\angle C=55^\circ$ . Наибольший угол — $\angle B$ .
4. Наибольшая сторона лежит против наибольшего угла: это сторона $AC$ .
Ответ: $\angle B=75^\circ$ ; наибольшая сторона $AC$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Периметр треугольника $ABC$ равен 30 см, $AB=8$ см, а сторона $BC$ на 4 см длиннее $AC$ . Найдите $BC$ .
1. 9 см
2. 13 см
3. 11 см
4. 14 см
5. 12 см
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 13 см
$AC+BC=30-8=22$ . Пусть $AC=x$ , тогда $x+(x+4)=22$ , $x=9$ . Значит, $BC=9+4=13$ см.
Из каких трёх отрезков можно построить треугольник?
1. 2 см, 3 см, 5 см
2. 1 см, 2 см, 4 см
3. 4 см, 5 см, 10 см
4. 6 см, 2 см, 3 см
5. 3 см, 4 см, 6 см
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: E 3 см, 4 см, 6 см
Наибольший отрезок должен быть меньше суммы двух других: $6<3+4$ . В варианте A $5=2+3$ , треугольник не получается; в вариантах B, C, D наибольший отрезок больше суммы двух других.
В треугольнике $ABC$ $\angle A=40^\circ$ , $\angle B=75^\circ$ . Какое сравнение сторон верно?
1. $AB<BC<AC$
2. $AC<AB<BC$
3. $BC<AC<AB$
4. $BC<AB<AC$
5. $AB<AC<BC$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $BC<AB<AC$
$\angle C=180^\circ-40^\circ-75^\circ=65^\circ$ . Углы: $\angle A<\angle C<\angle B$ . Противолежащие им стороны идут в том же порядке: $BC<AB<AC$ .

Типичные ошибки

Связывают сторону с прилежащим углом вместо противолежащего: против $\angle A$ лежит сторона $BC$ .
Считают треугольником случай равенства в неравенстве треугольника ( $5=2+3$ ).
Думают, что высота всегда лежит внутри треугольника: в тупоугольном треугольнике две высоты лежат вне его.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото