Круговой сектор и круговой сегмент

В круге с центром $O$ и радиусом $R$ проведём радиусы $OA$, $OB$ и хорду $AB$.

• Круговым сектором называется часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между их концами. Радиусы $OA$ и $OB$ делят круг на два сектора: с центральным углом $\alpha$ и с центральным углом $360^\circ-\alpha$.
• Круговым сегментом называется часть круга, ограниченная хордой и дугой, которую стягивает эта хорда. Хорда $AB$ делит круг на два сегмента: меньший и больший.

Различить их просто: вершина сектора находится в центре, как у куска торта, а сегмент «отрезан» от круга хордой, его граница — хорда и дуга. Если $AB$ — диаметр, то получившийся полукруг является и сектором ($\alpha=180^\circ$), и сегментом.

Весь круг — это сектор в $360^\circ$, его площадь $\pi R^2$. Площадь сектора прямо пропорциональна центральному углу, поэтому площадь сектора с центральным углом $\alpha$ равна

Например, сектор в $90^\circ$ составляет $\frac14$ круга, а сектор в $72^\circ$ составляет $\frac15$ круга. Если угол не меняется, а радиус увеличивается в 2 раза, площадь сектора увеличивается в 4 раза.

Длина дуги сектора $l=\dfrac{\pi R\alpha}{180^\circ}$, поэтому площадь можно записать и так:

Если угол дан в радианах, то $S=\dfrac{R^2\alpha}{2}$.

Граница сектора состоит из двух радиусов и дуги, поэтому его периметр $P=2R+l$.

Чтобы найти площадь меньшего сегмента с дугой $\alpha<180^\circ$, из площади сектора вычитают площадь треугольника $AOB$:

Для большего сегмента ($\alpha>180^\circ$) площадь треугольника к площади сектора прибавляют. Проще так: площадь большего сегмента равна разности площади круга и площади меньшего сегмента.

Часто встречающиеся случаи:

• $\alpha=90^\circ$: треугольник $AOB$ прямоугольный, $S_{AOB}=\dfrac{R^2}{2}$, сегмент $\dfrac{\pi R^2}{4}-\dfrac{R^2}{2}$;
• $\alpha=60^\circ$: треугольник $AOB$ равносторонний, $S_{AOB}=\dfrac{\sqrt3}{4}R^2$, сегмент $\dfrac{\pi R^2}{6}-\dfrac{\sqrt3}{4}R^2$;
• $\alpha=120^\circ$: $S_{AOB}=\dfrac12R^2\sin120^\circ=\dfrac{\sqrt3}{4}R^2$, сегмент $\dfrac{\pi R^2}{3}-\dfrac{\sqrt3}{4}R^2$.

Проверяйте себя: площадь сегмента должна быть положительной. Например, при $\alpha=60^\circ$ имеем $\dfrac{\pi}{6}\approx0{,}52$ и $\dfrac{\sqrt3}{4}\approx0{,}43$, разность положительна. Если получился отрицательный ответ, неверно выбран угол или формула.

В большинстве задач главное — найти центральный угол:

• если хорда равна $R$, то $\alpha=60^\circ$; если $R\sqrt2$, то $\alpha=90^\circ$; если $R\sqrt3$, то $\alpha=120^\circ$;
• если дана площадь сектора, то $\alpha=\dfrac{360^\circ\cdot S}{\pi R^2}$;
• если дана длина дуги, то $\alpha=\dfrac{180^\circ\cdot l}{\pi R}$;
• если дано отношение дуг, сумму частей приравнивают к $360^\circ$.

Найдя угол, вычисляют площадь сектора, а для сегмента ещё и площадь треугольника $AOB$.