Окружность, круг и дуга окружности

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии $r$ от данной точки $O$. Точка $O$ — центр окружности, $r$ — её радиус.

• Радиус — отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности.
• Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр: $d=2r$.

Все радиусы окружности равны, все диаметры тоже равны. Диаметр — наибольшая хорда: для любой хорды $AB$ по неравенству треугольника $AB\le OA+OB=2r$.

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью. Кругу принадлежат все точки, удалённые от центра не больше чем на $r$, то есть сама окружность тоже входит в круг и является его границей. Центр не лежит на окружности, но принадлежит кругу.

Чтобы определить положение точки $M$, сравниваем расстояние $OM$ с радиусом:

• если $OM<r$, точка лежит внутри круга, но не на окружности;
• если $OM=r$, точка лежит на окружности;
• если $OM>r$, точка лежит вне круга.

Длина окружности $C=2\pi r=\pi d$, площадь круга $S=\pi r^2$. Длина относится к окружности, а площадь к кругу. Если радиус увеличить в 2 раза, длина увеличится в 2 раза, а площадь в 4 раза.

Две точки $A$ и $B$ окружности делят её на две дуги. Чтобы указать, какая дуга имеется в виду, на ней отмечают третью точку: $\smile AMB$. Если $AB$ — диаметр, обе дуги являются полуокружностями.

Дуги измеряют в градусах. Вся окружность составляет $360^\circ$, полуокружность $180^\circ$. Градусная мера дуги, меньшей полуокружности, равна соответствующему центральному углу $\angle AOB$. Мера большей дуги равна $360^\circ-\angle AOB$.

Сумма двух дуг с общими концами всегда равна $360^\circ$. В задачах, где дано отношение дуг, достаточно обозначить одну часть через $x$ и приравнять сумму к $360^\circ$.

• Треугольник $AOB$, образованный двумя радиусами и хордой, равнобедренный ($OA=OB=r$), поэтому $\angle OAB=\angle OBA$. Например, если $\angle AOB=100^\circ$, то $\angle OAB=\dfrac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ$.
• В одной окружности равные хорды стягивают равные дуги, и наоборот, хорды, стягивающие равные дуги, равны.
• Если хорда $AB$ равна радиусу, то треугольник $AOB$ равносторонний, и меньшая дуга $AB$ равна $60^\circ$.
• Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором, а часть, ограниченная хордой и дугой, — сегментом.