Что такое отрезок

Отрезком называется часть прямой, состоящая из двух её точек и всех точек, лежащих между ними. Эти две точки — концы отрезка. Отрезок с концами $A$ и $B$ обозначают $AB$ или $BA$ : это один и тот же отрезок.

Не путайте отрезок с прямой и лучом:

у прямой нет концов, она бесконечно продолжается в обе стороны;
у луча один конец, он бесконечно продолжается в одну сторону;
у отрезка два конца, поэтому у него есть длина.

Через любые две точки проходит только одна прямая, и эти точки ограничивают на ней только один отрезок.

Длина отрезка

Каждый отрезок имеет положительную длину. Её измеряют линейкой и выражают в мм, см, дм, м, км. Расстояние между двумя точками — это длина соединяющего их отрезка. Отрезки одинаковой длины называются равными.

Основное свойство: если точка $C$ лежит на отрезке $AB$ , то

AB=AC+CB.

То есть точка делит отрезок на две части, и сумма длин частей равна длине всего отрезка.

Из трёх точек одной прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими. Например, точки $A$ , $B$ , $C$ лежат на одной прямой, $AB=7$ см, $BC=3$ см. Если $C$ лежит между $A$ и $B$ , то $AC=7-3=4$ см; если $B$ лежит между $A$ и $C$ , то $AC=7+3=10$ см. А точка $A$ не может лежать между $B$ и $C$ , иначе было бы $BC=BA+AC>7$ см.

Середина отрезка

Точка, которая делит отрезок на две равные части, называется его серединой. Если $M$ — середина отрезка $AB$ , то

AM=MB=\dfrac{AB}{2}.

Часто встречающийся факт: точка $C$ лежит на отрезке $AB$ , $M$ — середина $AC$ , $N$ — середина $CB$ . Тогда, где бы ни находилась точка $C$ ,

MN=MC+CN=\dfrac{AC}{2}+\dfrac{CB}{2}=\dfrac{AB}{2}.

Для точек $A(a)$ и $B(b)$ на координатной прямой $AB=|b-a|$ , а координата середины равна $\dfrac{a+b}{2}$ . Например, для $A(-3)$ и $B(5)$ получаем $AB=8$ и середину $M(1)$ .

Точки и число отрезков

Если отмечено $n$ точек, то отрезков с концами в этих точках

\dfrac{n(n-1)}{2}.

Причина: каждая точка образует отрезок с каждой из остальных $n-1$ точек, но при таком подсчёте каждый отрезок учтён дважды ( $AB$ и $BA$ ). Лежат ли точки на одной прямой, на ответ не влияет. Например, 4 точки дают $\dfrac{4\cdot3}{2}=6$ отрезков: $AB$ , $AC$ , $AD$ , $BC$ , $BD$ , $CD$ .

Если внутри отрезка отметить $k$ точек, то они вместе с концами разобьют его на $k+1$ частей. Если все части равны, длина каждой равна $\dfrac{AB}{k+1}$ .

Запомните

Отрезок состоит из двух концов и всех точек прямой между ними; $AB$ и $BA$ — один и тот же отрезок.
Если точка $C$ лежит на отрезке $AB$ , то $AB=AC+CB$ .
Из трёх точек одной прямой одна лежит между двумя другими; если не сказано какая, проверьте все случаи.
Середина: $AM=MB=\dfrac{AB}{2}$ ; на координатной прямой её координата равна $\dfrac{a+b}{2}$ .
$n$ точек задают $\dfrac{n(n-1)}{2}$ отрезков.

Разобранные примеры

Пример 1
Точки $A$ , $B$ и $C$ лежат на одной прямой, $AB=12$ см, $BC=5$ см. Найдите длину отрезка $AC$ .
Решение
Не сказано, какая точка лежит посередине, поэтому рассматриваем случаи.
1. $C$ лежит между $A$ и $B$ : $AB=AC+CB$ , $12=AC+5$ , $AC=7$ см.
2. $B$ лежит между $A$ и $C$ : $AC=AB+BC=12+5=17$ см.
3. $A$ не может лежать между $B$ и $C$ : тогда было бы $BC=BA+AC>12$ см, а по условию $BC=5$ см.
Ответ: 7 см или 17 см.
Пример 2
Точка $C$ лежит на отрезке $AB$ , причём $AC:CB=2:3$ . $M$ — середина $AC$ , $N$ — середина $CB$ , $MN=10$ см. Найдите длины отрезков $AB$ и $AC$ .
Решение
1. $MN=MC+CN=\dfrac{AC}{2}+\dfrac{CB}{2}=\dfrac{AB}{2}$ .
2. Значит, $AB=2\cdot MN=20$ см.
3. Пусть $AC=2x$ , $CB=3x$ : $2x+3x=20$ , $x=4$ . Тогда $AC=8$ см, $CB=12$ см.
4. Проверка: $MC=\dfrac82=4$ см, $CN=\dfrac{12}{2}=6$ см, $MN=4+6=10$ см.
Ответ: $AB=20$ см, $AC=8$ см.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

На прямой отмечено 6 точек. Сколько существует отрезков с концами в этих точках?
1. 12
2. 30
3. 15
4. 6
5. 5
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 15
$\dfrac{6\cdot5}{2}=15$ . В ответе 30 каждый отрезок посчитан дважды, а 5 — это только отрезки между соседними точками.
Точка $C$ лежит на отрезке $AB$ . Отрезок $AC$ на 4 см длиннее отрезка $CB$ , $AB=18$ см. Найдите длину отрезка $CB$ .
1. 7 см
2. 11 см
3. 9 см
4. 5 см
5. 14 см
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A 7 см
Пусть $CB=x$ , $AC=x+4$ : $x+(x+4)=18$ , $2x=14$ , $x=7$ . 11 см — это длина $AC$ .
На координатной прямой даны точки $A(-3)$ и $B(5)$ . Точка $C$ лежит на отрезке $AB$ , причём $AC=3\,CB$ . Найдите координату точки $C$ .
1. 1
2. 2
3. 4
4. 3
5. $-1$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D 3
$AB=5-(-3)=8$ . Пусть $CB=x$ , $AC=3x$ : $4x=8$ , $x=2$ , значит, $AC=6$ . Точка $C$ находится на 6 единиц правее $A$ : $-3+6=3$ . Проверка: $CB=5-3=2$ , $AC=6=3\cdot2$ .

Типичные ошибки

Рассматривают только один случай, когда порядок трёх точек на прямой не задан: ответом может быть и сумма, и разность.
Считают число отрезков как $n-1$ (только соседние точки) или $n(n-1)$ ( $AB$ и $BA$ как разные отрезки).
Находят координату середины как $\dfrac{b-a}{2}$ : это не координата середины, а половина длины отрезка.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото