Первообразная функция

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка $F'(x)=f(x)$.

Например, $F(x)=x^3$ является первообразной для $f(x)=3x^2$, так как $(x^3)'=3x^2$. Нахождение первообразной для данной функции называют интегрированием.

Чтобы проверить, является ли функция первообразной, достаточно найти её производную: если получилась $f(x)$, ответ верный. В тестах это самый быстрый способ отбросить неверные варианты.

Производная постоянной равна нулю. Поэтому если $F(x)$ первообразная, то и $F(x)+C$ первообразная при любой постоянной $C$. Например, $x^3$, $x^3+5$ и $x^3-\sqrt2$ являются первообразными для $3x^2$.

На промежутке все первообразные функции $f(x)$ записываются в виде $F(x)+C$. Геометрический смысл: графики всех первообразных получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси $Oy$. Поэтому через заданную точку $M(x_0;\,y_0)$ (где $x_0$ принадлежит промежутку) проходит график ровно одной из них.

Таблица получается, если читать формулы производных в обратную сторону. Слева функция, справа её первообразная; в каждой строке добавляется $C$:

• $k$ (постоянная) $\;\to\; kx$
• $x^n$, $n\ne-1$ $\;\to\; \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
• $\dfrac1x \;\to\; \ln|x|$
• $\dfrac{1}{\sqrt x} \;\to\; 2\sqrt x$
• $e^x \;\to\; e^x$, $\;a^x \;\to\; \dfrac{a^x}{\ln a}$ ($a>0$, $a\ne1$)
• $\sin x \;\to\; -\cos x$, $\;\cos x \;\to\; \sin x$
• $\dfrac{1}{\cos^2x} \;\to\; \operatorname{tg}x$, $\;\dfrac{1}{\sin^2x} \;\to\; -\operatorname{ctg}x$

Степенная формула работает как для целых, так и для дробных показателей: $x^5 \to \dfrac{x^6}{6}$, $\;\sqrt[3]{x}=x^{\frac13} \to \dfrac34x^{\frac43}$. Корень или дробь сначала запишите в виде степени.

1. Первообразная суммы равна сумме первообразных: $f+g \to F+G$.
2. Постоянный множитель выносится: $k\,f \to k\,F$.
3. Линейный аргумент: $f(kx+b) \to \dfrac1k\,F(kx+b)$, где $k\ne0$.

Например, $\cos3x \to \dfrac13\sin3x+C$, $\;(2x+1)^4 \to \dfrac{(2x+1)^5}{10}+C$.

Чтобы найти первообразную, график которой проходит через данную точку, сначала записываем общий вид $F(x)+C$, затем подставляем координаты точки и находим $C$.

Для произведения и частного нет такого простого правила, как для суммы: первообразная произведения $f\cdot g$ не равна $F\cdot G$. В таких случаях функцию сначала превращают в сумму табличных функций:

• при $x>0$: $\dfrac{x^2+1}{x}=x+\dfrac1x \;\to\; \dfrac{x^2}{2}+\ln x+C$;
• $\sqrt x\,(x+1)=x^{\frac32}+x^{\frac12} \;\to\; \dfrac25x^{\frac52}+\dfrac23x^{\frac32}+C$;
• $2\sin x\cos x=\sin2x \;\to\; -\dfrac12\cos2x+C$;
• $\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2} \;\to\; \dfrac x2+\dfrac{\sin2x}{4}+C$.

Привычка проверять каждый ответ дифференцированием ловит большинство ошибок.