İbtidai funksiya

Əgər hər hansı aralığın bütün nöqtələrində $F'(x)=f(x)$ olarsa, $F(x)$ funksiyasına bu aralıqda $f(x)$ funksiyasının ibtidai funksiyası deyilir.

Məsələn, $F(x)=x^3$ funksiyası $f(x)=3x^2$ üçün ibtidaidir, çünki $(x^3)'=3x^2$. Verilmiş funksiyanın ibtidaisini tapmaq əməliyyatına inteqrallama deyilir.

Funksiyanın ibtidai olub-olmadığını yoxlamaq üçün onun törəməsini tapmaq kifayətdir: törəmə $f(x)$-ə bərabərdirsə, cavab düzgündür. Test tapşırıqlarında səhv variantları atmağın ən sürətli yolu budur.

Sabitin törəməsi sıfırdır. Ona görə $F(x)$ ibtidaidirsə, istənilən $C$ sabiti üçün $F(x)+C$ də ibtidaidir. Məsələn, $x^3$, $x^3+5$ və $x^3-\sqrt2$ funksiyalarının hamısı $3x^2$ üçün ibtidaidir.

Aralıqda $f(x)$-in bütün ibtidailəri $F(x)+C$ şəklində yazılır. Həndəsi mənası belədir: bütün ibtidailərin qrafikləri birinin $Oy$ oxu boyunca paralel köçürülməsindən alınır. Buna görə verilmiş $M(x_0;\,y_0)$ nöqtəsindən ($x_0$ həmin aralığa aiddir) bu qrafiklərdən yalnız biri keçir.

Cədvəl törəmə düsturlarını tərsinə oxumaqla alınır. Solda funksiya, sağda onun ibtidaisi yazılıb; hər sətirdə sonuna $C$ əlavə olunur:

• $k$ (sabit) $\;\to\; kx$
• $x^n$, $n\ne-1$ $\;\to\; \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
• $\dfrac1x \;\to\; \ln|x|$
• $\dfrac{1}{\sqrt x} \;\to\; 2\sqrt x$
• $e^x \;\to\; e^x$, $\;a^x \;\to\; \dfrac{a^x}{\ln a}$ ($a>0$, $a\ne1$)
• $\sin x \;\to\; -\cos x$, $\;\cos x \;\to\; \sin x$
• $\dfrac{1}{\cos^2x} \;\to\; \operatorname{tg}x$, $\;\dfrac{1}{\sin^2x} \;\to\; -\operatorname{ctg}x$

Qüvvət düsturu həm tam, həm də kəsr üstlər üçün işləyir: $x^5 \to \dfrac{x^6}{6}$, $\;\sqrt[3]{x}=x^{\frac13} \to \dfrac34x^{\frac43}$. Kökü və ya kəsri əvvəlcə qüvvət şəklinə salın.

1. Cəmin ibtidaisi ibtidailərin cəminə bərabərdir: $f+g \to F+G$.
2. Sabit vuruq ibtidainin qarşısına çıxır: $k\,f \to k\,F$.
3. Xətti arqument: $f(kx+b) \to \dfrac1k\,F(kx+b)$, burada $k\ne0$.

Məsələn, $\cos3x \to \dfrac13\sin3x+C$, $\;(2x+1)^4 \to \dfrac{(2x+1)^5}{10}+C$.

Verilmiş nöqtədən keçən ibtidainin tapılması: əvvəl ümumi şəkli $F(x)+C$ yazırıq, sonra nöqtənin koordinatlarını yerinə qoyub $C$-ni tapırıq.

Hasil və qismət üçün cəmdəki kimi sadə qayda yoxdur: $f\cdot g$ hasilinin ibtidaisi $F\cdot G$ deyil. Belə hallarda funksiyanı əvvəlcə cədvəldəki funksiyaların cəminə çevirin:

• $x>0$ olduqda $\dfrac{x^2+1}{x}=x+\dfrac1x \;\to\; \dfrac{x^2}{2}+\ln x+C$;
• $\sqrt x\,(x+1)=x^{\frac32}+x^{\frac12} \;\to\; \dfrac25x^{\frac52}+\dfrac23x^{\frac32}+C$;
• $2\sin x\cos x=\sin2x \;\to\; -\dfrac12\cos2x+C$;
• $\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2} \;\to\; \dfrac x2+\dfrac{\sin2x}{4}+C$.

Hər cavabı törəmə ilə yoxlamaq vərdişi səhvlərin çoxunu tutur.