Əsas anlayışlar və işarələmə

Nöqtə, düz xətt və müstəvi tərifsiz qəbul edilir, onları nümunələrlə təsvir edirik. Nöqtənin ölçüsü yoxdur. Düz xəttin ucları yoxdur: o, hər iki istiqamətdə sonsuz davam edir və uzunluğu ölçülmür. Müstəvi isə hər tərəfə sonsuz davam edən düz səthdir, məsələn, masa səthinin sonsuz davamı kimi.

Nöqtələr böyük latın hərfləri ilə işarə olunur: $A$ , $B$ , $C$ .
Düz xətlər kiçik hərflərlə ( $a$ , $b$ ) və ya üzərindəki iki nöqtə ilə ( $AB$ ) işarə olunur.
Müstəvilər yunan hərfləri ilə işarə olunur: $\alpha$ , $\beta$ .

$A$ nöqtəsi $a$ düz xətti üzərindədirsə, $A\in a$ yazılır və " $A$ nöqtəsi $a$ düz xəttinə aiddir" oxunur. Üzərində deyilsə, $A\notin a$ yazılır. Bir düz xətt üzərində yerləşən nöqtələrə bəzən kollinear nöqtələr deyilir.

Əsas xassələr

İstənilən düz xətt üzərində nöqtələr var və onun üzərində olmayan nöqtələr də var.
İstənilən iki nöqtədən bir və yalnız bir düz xətt keçir.
İki müxtəlif düz xətt ya kəsişmir, ya da yalnız bir nöqtədə kəsişir. İki ortaq nöqtəsi olsaydı, 2-ci xassəyə görə onlar üst-üstə düşərdi.
Bir düz xətt üzərindəki üç nöqtədən biri və yalnız biri digər ikisinin arasında yerləşir.
Düz xətt müstəvini iki yarımmüstəviyə bölür. Düz xətt üzərində olmayan $A$ və $B$ nöqtələri üçün: $AB$ parçası düz xətti kəsmirsə, nöqtələr eyni yarımmüstəvidədir; kəsirsə, müxtəlif yarımmüstəvilərdədir.

Fəzada isə bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtədən bir və yalnız bir müstəvi keçir.

Saymağa aid məsələlər

Heç üçü bir düz xətt üzərində olmayan $n$ nöqtənin hər cütündən bir düz xətt keçir. Cütlərin sayı $\dfrac{n(n-1)}{2}$ -dir: hər nöqtə qalan $n-1$ nöqtə ilə birləşir, amma $AB$ və $BA$ eyni düz xətt olduğu üçün hasili 2-yə bölürük.

Heç ikisi paralel olmayan və heç üçü bir nöqtədən keçməyən $n$ düz xətt üçün:

kəsişmə nöqtələrinin sayı $\dfrac{n(n-1)}{2}$ -dir, çünki hər cüt düz xətt bir dəfə kəsişir;
müstəvi $1+n+\dfrac{n(n-1)}{2}$ hissəyə bölünür.

İkinci düsturun səbəbi: $k$ -cı düz xətt əvvəlki $k-1$ düz xətti $k-1$ nöqtədə kəsir. Bu nöqtələr onu $k$ hissəyə bölür ( $k\ge2$ olduqda kənardakı ikisi şüadır). Hər parça keçdiyi müstəvi hissəsini ikiyə ayırır, yəni hissələrin sayı $k$ qədər artır.

Nöqtələrin bir qismi eyni düz xətt üzərindədirsə, düsturu birbaşa tətbiq etmək olmaz: həmin nöqtələrin bütün cütləri bir düz xətt verir.

Yadda saxla

Nöqtə, düz xətt və müstəvi tərifsiz qəbul edilən əsas anlayışlardır.
İki nöqtədən bir və yalnız bir düz xətt keçir.
İki müxtəlif düz xəttin ən çoxu bir ortaq nöqtəsi olur.
Düz xətt müstəvini iki yarımmüstəviyə bölür.
Heç üçü bir düz xətt üzərində olmayan $n$ nöqtədən $\dfrac{n(n-1)}{2}$ düz xətt keçir.
Heç ikisi paralel olmayan, heç üçü bir nöqtədən keçməyən $n$ düz xətt: $\dfrac{n(n-1)}{2}$ kəsişmə nöqtəsi və $1+n+\dfrac{n(n-1)}{2}$ hissə.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
Müstəvidə 6 nöqtə qeyd olunub, onlardan heç üçü bir düz xətt üzərində deyil. Bu nöqtələrin ikisindən keçən neçə düz xətt çəkmək olar?
Həlli
1. Hər düz xətt bir cüt nöqtə ilə təyin olunur. Heç üç nöqtə bir düz xətt üzərində olmadığı üçün müxtəlif cütlər müxtəlif düz xətlər verir.
2. Hər nöqtə qalan 5 nöqtə ilə birləşir: $6\cdot5=30$ . Bu say hər düz xətti iki dəfə sayır ( $AB$ və $BA$ ).
3. $\dfrac{6\cdot5}{2}=15$ .
Cavab: 15 düz xətt.
Misal 2
Müstəvidə 4 düz xətt çəkilib; heç ikisi paralel deyil və heç üçü bir nöqtədən keçmir. a) Kəsişmə nöqtələrinin sayını tapın. b) Bu düz xətlər müstəvini neçə hissəyə bölür?
Həlli
a) Hər cüt düz xətt tam bir nöqtədə kəsişir. Heç üç düz xətt ortaq nöqtədən keçmədiyi üçün bu nöqtələr üst-üstə düşmür: $\dfrac{4\cdot3}{2}=6$ .

b) Düz xətləri bir-bir çəkək. Düz xətt yoxdursa, müstəvi 1 hissədir. 1-ci düz xətt 1, 2-ci düz xətt 2, 3-cü düz xətt 3, 4-cü düz xətt 4 hissə əlavə edir: $1+1+2+3+4=11$ . Düsturla yoxlayaq: $1+4+6=11$ .

Cavab: a) 6; b) 11.

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Müstəvidə 7 nöqtə verilib, onlardan heç üçü bir düz xətt üzərində deyil. Bu nöqtələrin ikisindən keçən neçə düz xətt çəkmək olar?
1. 14
2. 42
3. 21
4. 7
5. 35
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C 21
$\dfrac{7\cdot6}{2}=21$ . 42 cavabı hər düz xətti iki dəfə sayır.
Müstəvidə 6 düz xətt çəkilib; heç ikisi paralel deyil və heç üçü bir nöqtədən keçmir. Kəsişmə nöqtələrinin sayını tapın.
1. 15
2. 12
3. 30
4. 36
5. 6
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: A 15
Hər cüt düz xətt bir nöqtədə kəsişir və nöqtələr üst-üstə düşmür: $\dfrac{6\cdot5}{2}=15$ .
Müstəvidə 5 nöqtə verilib: onlardan 3-ü bir düz xətt üzərindədir, başqa heç bir üç nöqtə bir düz xətt üzərində deyil. Bu nöqtələrin ikisindən keçən neçə müxtəlif düz xətt var?
1. 10
2. 7
3. 9
4. 8
5. 6
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D 8
Bütün cütlər $\dfrac{5\cdot4}{2}=10$ düz xətt verərdi. Lakin bir düz xətt üzərindəki 3 nöqtənin 3 cütü eyni düz xətti verir: $10-3+1=8$ .

Tipik səhvlər

Düz xətti parça kimi təsəvvür etmək: düz xəttin ucları və uzunluğu yoxdur.
Nöqtə cütlərini sayarkən 2-yə bölməyi unutmaq: $AB$ və $BA$ eyni düz xəttdir.
Bəzi nöqtələr bir düz xətt üzərində olduqda $\dfrac{n(n-1)}{2}$ düsturunu yoxlamadan tətbiq etmək.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et