Qeyri-müəyyən inteqral və onun xassələri

Əgər $F(x)$ funksiyası hər hansı aralıqda $f(x)$ üçün ibtidaidirsə, yəni $F'(x)=f(x)$-dirsə, onda $f(x)$-in bütün ibtidailərinin çoxluğuna $f(x)$ funksiyasının qeyri-müəyyən inteqralı deyilir:

• $\int$ inteqral işarəsidir;
• $f(x)$ inteqralaltı funksiya, $f(x)\,dx$ isə inteqralaltı ifadədir;
• $x$ inteqrallama dəyişəni, $C$ isə ixtiyari sabitdir.

Qeyri-müəyyən inteqralın tapılmasına inteqrallama deyilir. Məsələn, $(x^2)'=2x$ olduğu üçün $\int 2x\,dx=x^2+C$. "Qeyri-müəyyən" sözü cavabın bir funksiya deyil, $C$-dən asılı funksiyalar ailəsi olduğunu göstərir.

Tərifdən birbaşa iki xassə alınır, çünki törəmənin tapılması (diferensiallama) və inteqrallama bir-birinə tərs olan əməllərdir:

1. $\left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x)$: inteqralın törəməsi inteqralaltı funksiyaya bərabərdir.
2. $\int F'(x)\,dx=F(x)+C$: törəmənin inteqralı funksiyanın özünü sabit toplanan dəqiqliyi ilə verir.

Hesablama üçün əsas qaydalar:

3. Sabit vuruq inteqral işarəsi xaricinə çıxarılır: $\int k\,f(x)\,dx=k\int f(x)\,dx$ ($k\ne0$).
4. Cəmin (fərqin) inteqralı inteqralların cəminə (fərqinə) bərabərdir: $\int\big(f(x)\pm g(x)\big)dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$.
5. Xətti arqument: $\int f(kx+b)\,dx=\dfrac1k\,F(kx+b)+C$ ($k\ne0$).

Məsələn, $\int(3x^2+\cos x)\,dx=\int3x^2dx+\int\cos x\,dx=x^3+\sin x+C$. Hər toplananın inteqralında öz sabiti yaranır, lakin onların cəmi yenə ixtiyari sabitdir, ona görə cavabda bir $C$ yazılır. Xətti arqument qaydasına nümunələr: $\int e^{3x}dx=\dfrac{e^{3x}}{3}+C$, $\;\int\cos(2x-1)\,dx=\dfrac12\sin(2x-1)+C$.

Hasil və qismət üçün belə qayda yoxdur: $\int f(x)\,g(x)\,dx$ ümumiyyətlə $\int f(x)\,dx\cdot\int g(x)\,dx$ hasilinə bərabər deyil.

• $\int dx=x+C$
• $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$, $\;n\ne-1$
• $\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C$
• $\int \dfrac{dx}{\sqrt x}=2\sqrt x+C$
• $\int e^x\,dx=e^x+C$, $\;\int a^x\,dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C$ ($a>0$, $a\ne1$)
• $\int \sin x\,dx=-\cos x+C$, $\;\int \cos x\,dx=\sin x+C$
• $\int \dfrac{dx}{\cos^2x}=\operatorname{tg}x+C$, $\;\int \dfrac{dx}{\sin^2x}=-\operatorname{ctg}x+C$

Cədvəldəki hər bərabərliyi sağ tərəfin törəməsini tapmaqla yoxlamaq olar. Məsələn, $\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)'=x^n$ və $(-\cos x)'=\sin x$.

İnteqralaltı funksiyanı əvvəlcə cədvəldəki funksiyaların cəminə çevirin:

• mötərizələri açın: $\int(x+1)(x-1)\,dx=\int(x^2-1)\,dx=\dfrac{x^3}{3}-x+C$;
• kəsri hədbəhəd bölün ($x\ne0$): $\int\dfrac{x^3+2}{x^2}\,dx=\int\left(x+2x^{-2}\right)dx=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac2x+C$;
• kökləri qüvvət şəklində yazın: $\int\sqrt[3]{x^2}\,dx=\int x^{\frac23}dx=\dfrac35x^{\frac53}+C$;
• triqonometrik düsturlardan istifadə edin: $\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$, ona görə $\int\sin^2x\,dx=\dfrac x2-\dfrac{\sin2x}{4}+C$.

Eyni inteqralın cavabı müxtəlif görünə bilər. Məsələn, $\int(x+1)^2dx$ üçün xətti arqument qaydası $\dfrac{(x+1)^3}{3}+C$, mötərizəni açmaq isə $\dfrac{x^3}{3}+x^2+x+C$ verir. Hər iki cavab düzgündür: onlar yalnız sabit ədədlə ($\frac13$) fərqlənir. Cavabı yoxlamağın ən etibarlı yolu onun törəməsini tapmaqdır: törəmə inteqralaltı funksiyaya bərabər olmalıdır.