Birinci görkəmli limit

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.

Burada $x$ radianla ölçülür. Nəticənin mənası belədir: $x$ sıfıra yaxın olduqda $\sin x \approx x$ . Məsələn, $\sin 0{,}01 \approx 0{,}01$ .

İsbatın ideyası: $0 < x < \frac{\pi}{2}$ olduqda vahid çevrədə üçbucaqların və sektorun sahələrini müqayisə edərək $\sin x < x < \tan x$ alınır. Buradan $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ . $x \to 0$ olduqda $\cos x \to 1$ , ona görə ortadakı ifadə də $1$ -ə yaxınlaşır.

Birinci limitin nəticələri

Arqumenti $kx$ olan funksiyalarda $\frac{\sin kx}{kx} \to 1$ olmasından istifadə edilir. Ən çox işlənən nəticələr ( $k \ne 0$ , $b \ne 0$ ):

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin kx}{x} = k$ və $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan kx}{x} = k$ ;
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \frac{a}{b}$ ;
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ ;
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$ .

Məsələn, $\frac{\sin 7x}{x} = 7 \cdot \frac{\sin 7x}{7x} \to 7$ . Tərkibində $1 - \cos x$ olan ifadələrdə $1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$ düsturu işə yarayır.

İkinci görkəmli limit

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e,

\lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} = e,

burada $e \approx 2{,}718$ irrasional ədəddir. Bu limit $1^\infty$ tipli qeyri-müəyyənliyi açır: əsas $1$ -ə, üst isə sonsuzluğa yaxınlaşır. Diqqət: belə limitin cavabını avtomatik olaraq $1$ yazmaq olmaz, bu qeyri-müəyyənlikdir və onu açmaq lazımdır.

Ümumi nəticə:

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^{mx} = e^{km}.

Məsələn, $\left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2x} \to e^6$ və $\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} \to e^{-1}$ .

Ümumi qayda: əsası $1 + \alpha$ şəklinə gətirin, burada $\alpha \to 0$ . Onda $(1 + \alpha)^{\beta}$ ifadəsinin limiti $e^{L}$ olur, burada $L$ ədədi $\alpha \beta$ hasilinin limitidir.

İkinci limitin nəticələri

Loqarifmik və üstlü funksiyalar üçün sıfır ətrafında oxşar nəticələr alınır:

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ ;
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ və $\lim\limits_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ .

Yəni kiçik $x$ üçün $\ln(1 + x) \approx x$ və $e^x - 1 \approx x$ . Məsələn, $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} = 3$ .

Yadda saxla

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ( $x$ radianla); $\frac{\sin kx}{x} \to k$ , $\frac{\tan kx}{x} \to k$ .
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \frac{a}{b}$ , $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ .
$\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \approx 2{,}718$ ; $1^\infty$ qeyri-müəyyənlikdir, cavab avtomatik $1$ olmur.
$\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^{mx} = e^{km}$ .
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ .

Həll olunmuş misallar

Misal 1
Limiti hesablayın: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{x \sin x}$ .
Həlli
$x = 0$ olduqda surət də, məxrəc də sıfırdır, yəni $\frac{0}{0}$ qeyri-müəyyənliyi var.

$1 - \cos 4x = 2\sin^2 2x$ düsturunu tətbiq edib ifadəni görkəmli limitlərə uyğun qruplaşdırırıq:

$\frac{2\sin^2 2x}{x \sin x} = 2 \cdot \frac{\sin 2x}{x} \cdot \frac{\sin 2x}{x} \cdot \frac{x}{\sin x}.$

$x \to 0$ olduqda $\frac{\sin 2x}{x} \to 2$ və $\frac{x}{\sin x} \to 1$ . Deməli, limit $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 = 8$ .

Cavab: $8$ .
Misal 2
Limiti hesablayın: $\lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^x$ .
Həlli
$x \to \infty$ olduqda əsas $1$ -ə, üst isə sonsuzluğa yaxınlaşır: $1^\infty$ qeyri-müəyyənliyi.

Əsası $1 + \alpha$ şəklinə gətiririk:

$\frac{x + 3}{x - 1} = 1 + \frac{4}{x - 1}.$

$t = x - 1$ işarə edək. Onda $x = t + 1$ və $t \to \infty$ :

$\left(1 + \frac{4}{t}\right)^{t + 1} = \left(1 + \frac{4}{t}\right)^{t} \cdot \left(1 + \frac{4}{t}\right) \to e^4 \cdot 1 = e^4.$

Cavab: $e^4$ .

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Limiti hesablayın: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 12x}$ .
1. $\frac{1}{4}$
2. $\frac{1}{3}$
3. $\frac{1}{2}$
4. $1$
5. $4$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: A $\frac{1}{4}$
$\frac{\tan 3x}{\sin 12x} = \frac{\tan 3x}{3x} \cdot \frac{12x}{\sin 12x} \cdot \frac{3x}{12x} \to 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ .
Limiti hesablayın: $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3x}$ .
1. $e^{\frac{2}{3}}$
2. $e^{\frac{3}{2}}$
3. $e^2$
4. $e^5$
5. $e^6$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: E $e^6$
$\left(1 + \frac{k}{x}\right)^{mx} \to e^{km}$ düsturunda $k = 2$ , $m = 3$ , deməli, limit $e^6$ -dır. $e^5$ cavabı $k$ və $m$ ədədlərini vurmaq əvəzinə toplayanda alınır.
Limiti hesablayın: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}$ .
1. $\frac{1}{4}$
2. $\frac{1}{2}$
3. $1$
4. $2$
5. $4$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D $2$
$1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ , ona görə $\frac{1 - \cos 2x}{x^2} = 2\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \to 2 \cdot 1 = 2$ .

Tipik səhvlər

Birinci görkəmli limiti arqument sıfıra yaxınlaşmayanda tətbiq etmək: $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$ limiti $1$ deyil, $0$ -dır, çünki $|\sin x| \le 1$ .
$1^\infty$ tipli limitdə əsas $1$ -ə yaxınlaşdığı üçün cavabı $1$ yazmaq: $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ ifadəsinin limiti $e$ -dir.
$\frac{\sin 5x}{x}$ ifadəsində $5$ vuruğunu itirib cavabı $1$ yazmaq. İfadəni əvvəlcə $5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x}$ şəklinə gətirmək lazımdır, onda limit $5$ olur.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et