Funksiyanın limiti

$x$ arqumenti $a$ ədədinə yaxınlaşdıqda ($x \neq a$) $f(x)$ funksiyasının qiymətləri $L$ ədədinə istənilən qədər yaxınlaşırsa, $L$ ədədinə $f(x)$ funksiyasının $a$ nöqtəsində limiti deyilir:

Dəqiq tərif belədir: istənilən $\varepsilon > 0$ ədədi üçün elə $\delta > 0$ ədədi var ki, $0 < |x - a| < \delta$ olduqda $|f(x) - L| < \varepsilon$ olur.

Vacib: limit funksiyanın $a$ nöqtəsindəki qiymətindən asılı deyil, funksiya bu nöqtədə heç təyin olunmaya da bilər. Məsələn, $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ funksiyası $x = 1$ olduqda təyin olunmayıb, amma $x \neq 1$ üçün $f(x) = x + 1$, ona görə $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$.

$x$ arqumenti $a$-ya yalnız soldan ($x < a$) yaxınlaşırsa, soldan limit $\lim_{x \to a - 0} f(x)$, yalnız sağdan ($x > a$) yaxınlaşırsa, sağdan limit $\lim_{x \to a + 0} f(x)$ alınır. Limit o zaman və yalnız o zaman var ki, hər iki birtərəfli limit var və onlar bərabərdir.

Məsələn, $f(x) = \frac{|x|}{x}$ üçün $x < 0$ olduqda $f(x) = -1$, $x > 0$ olduqda isə $f(x) = 1$. Soldan limit $-1$, sağdan limit $1$ olur. Onlar fərqli olduğundan $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ limiti yoxdur.

$\lim f(x)$ və $\lim g(x)$ varsa:

• $\lim (f \pm g) = \lim f \pm \lim g$;
• $\lim (f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g$, $\lim (c \cdot f) = c \cdot \lim f$;
• $\lim \frac{f}{g} = \frac{\lim f}{\lim g}$, əgər $\lim g \neq 0$.

Çoxhədlilər, kəsr-rasional funksiyalar, köklü ifadələr, üstlü və triqonometrik funksiyalar təyin oblastlarının nöqtələrində kəsilməzdir. Ona görə belə nöqtədə limiti tapmaq üçün $x = a$ qiymətini sadəcə yerinə qoymaq kifayətdir: $\lim_{x \to 2}(x^3 - 3x) = 8 - 6 = 2$.

Yerinə qoyduqda $\frac{0}{0}$ alınırsa, cavab hələ məlum deyil, ifadəni sadələşdirmək lazımdır:

• vuruqlara ayırıb ixtisar etmək: $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6$;
• qoşma ifadəyə vurmaq (köklər olduqda):

Yerinə qoyduqda $\frac{c}{0}$ ($c \neq 0$) alınırsa, sonlu limit yoxdur. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ kimi limitlər isə ayrıca, görkəmli limitlər mövzusunda öyrənilir.

$x \to \infty$ olduqda $\frac{1}{x} \to 0$, ümumiyyətlə $\frac{c}{x^n} \to 0$ ($n \in \mathbb{N}$). Kəsr-rasional funksiyada $\frac{\infty}{\infty}$ alınırsa, surəti və məxrəci $x$-in ən yüksək dərəcəsinə bölürük. Nəticədə belə qayda alınır:

• surətin və məxrəcin dərəcələri bərabərdirsə, limit baş əmsalların nisbətinə bərabərdir;
• surətin dərəcəsi kiçikdirsə, limit $0$-a bərabərdir;
• surətin dərəcəsi böyükdürsə, sonlu limit yoxdur.

Məsələn, $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 5}{x^2 - 3x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{5}{x^2}}{1 - \frac{3}{x}} = 2$.