Loqarifmin tərifi

$a > 0$ , $a \ne 1$ və $b > 0$ olsun. $b$ ədədinin $a$ əsasına görə loqarifmi elə $c$ ədədidir ki, $a^c = b$ :

\log_a b = c \iff a^c = b.

Məsələn, $\log_2 32 = 5$ , çünki $2^5 = 32$ ; $\log_3 \frac{1}{9} = -2$ , çünki $3^{-2} = \frac{1}{9}$ ; $\log_{\sqrt{2}} 4 = 4$ , çünki $(\sqrt{2})^4 = 4$ .

Şərtlərə diqqət edin: əsas müsbətdir və $1$ -dən fərqlidir, loqarifm işarəsi altındakı ədəd isə müsbətdir. $\log_2 (-8)$ , $\log_2 0$ , $\log_1 5$ ifadələri mənasızdır.

İki xüsusi loqarifm var: onluq loqarifm $\lg b = \log_{10} b$ və natural loqarifm $\ln b = \log_e b$ , burada $e \approx 2{,}718$ .

Əsas loqarifmik eynilik

Tərifdən birbaşa əsas loqarifmik eynilik alınır:

a^{\log_a b} = b.

Məsələn, $5^{\log_5 7} = 7$ və $2^{3 + \log_2 5} = 2^3 \cdot 2^{\log_2 5} = 8 \cdot 5 = 40$ .

Həmçinin $\log_a 1 = 0$ (çünki $a^0 = 1$ ), $\log_a a = 1$ və $\log_a a^p = p$ .

Hasilin, nisbətin və qüvvətin loqarifmi

$x > 0$ , $y > 0$ olduqda:

\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y,

\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y,

\log_a x^p = p \log_a x,

\log_{a^k} x = \frac{1}{k} \log_a x \quad (k \ne 0).

Bu düsturlar hər iki istiqamətdə işlənir. Məsələn, $\lg 4 + \lg 25 = \lg 100 = 2$ , $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$ , $\log_8 2 = \frac{1}{3} \log_2 2 = \frac{1}{3}$ .

Cüt üstlü qüvvətdə modul lazımdır: $\log_a x^2 = 2 \log_a |x|$ , çünki $x$ mənfi də ola bilər.

Yeni əsasa keçid

Loqarifmi istənilən yeni $c$ əsasına ( $c > 0$ , $c \ne 1$ ) keçirmək olar:

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}.

Buradan iki faydalı nəticə çıxır:

$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ (burada $b \ne 1$ );
$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ .

Məsələn, $\frac{\log_7 81}{\log_7 3} = \log_3 81 = 4$ və $\log_2 5 \cdot \log_5 8 = \log_2 8 = 3$ . Diqqət: loqarifmlərin nisbəti nisbətin loqarifmi deyil, yəni $\frac{\log_7 81}{\log_7 3} \ne \log_7 27$ .

Yadda saxla

$\log_a b = c \iff a^c = b$ ; şərtlər: $a > 0$ , $a \ne 1$ , $b > 0$ .
$a^{\log_a b} = b$ , $\log_a 1 = 0$ , $\log_a a = 1$ .
$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ , $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ , $\log_a x^p = p \log_a x$ .
$\log_{a^k} x = \frac{1}{k} \log_a x$ .
$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ və $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ .

Həll olunmuş misallar

Misal 1
Hesablayın: $2\log_3 6 - \log_3 4 + 49^{\log_7 2}$ .
Həlli
1. Qüvvətin loqarifmi xassəsinə görə $2\log_3 6 = \log_3 6^2 = \log_3 36$ .
2. Nisbətin loqarifmi: $\log_3 36 - \log_3 4 = \log_3 \frac{36}{4} = \log_3 9 = 2$ .
3. $49^{\log_7 2} = (7^2)^{\log_7 2} = 7^{2\log_7 2} = 7^{\log_7 4} = 4$ (əsas loqarifmik eynilik).
Cəm: $2 + 4 = 6$ .

Cavab: $6$ .
Misal 2
$\log_2 3 = a$ olarsa, $\log_{12} 18$ ifadəsini $a$ ilə ifadə edin.
Həlli
$2$ əsasına keçirik: $\log_{12} 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 12}$ .
- $\log_2 18 = \log_2 (2 \cdot 3^2) = 1 + 2\log_2 3 = 1 + 2a$ ;
- $\log_2 12 = \log_2 (2^2 \cdot 3) = 2 + \log_2 3 = 2 + a$ .
Cavab: $\log_{12} 18 = \frac{1 + 2a}{2 + a}$ .

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Hesablayın: $\log_2 \frac{1}{8} + \log_{\sqrt{3}} 9$ .
1. $-7$
2. $-1$
3. $1$
4. $4$
5. $7$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C $1$
$\log_2 \frac{1}{8} = -3$ , çünki $2^{-3} = \frac{1}{8}$ . $\log_{\sqrt{3}} 9 = 4$ , çünki $(\sqrt{3})^4 = 9$ . Cəm: $-3 + 4 = 1$ .
Hesablayın: $\frac{\log_5 64}{\log_5 4}$ .
1. $2$
2. $3$
3. $4$
4. $16$
5. $\log_5 16$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B $3$
Yeni əsasa keçid düsturunu tərsinə tətbiq edirik: $\frac{\log_5 64}{\log_5 4} = \log_4 64 = 3$ , çünki $4^3 = 64$ . $\log_5 16$ cavabı loqarifmlərin nisbətini nisbətin loqarifmi sayanda alınır.
$3^{2 + \log_3 5}$ ifadəsinin qiymətini tapın.
1. $14$
2. $25$
3. $30$
4. $45$
5. $75$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D $45$
$3^{2 + \log_3 5} = 3^2 \cdot 3^{\log_3 5} = 9 \cdot 5 = 45$ . $14$ cavabı qüvvəti səhvən $3^2 + 3^{\log_3 5} = 9 + 5$ kimi yazanda alınır.

Tipik səhvlər

Cəmin loqarifmini loqarifmlərin cəmi saymaq: $\log_a (x + y) \ne \log_a x + \log_a y$ . Bu xassə yalnız hasil üçün doğrudur: $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ .
Loqarifmlərin nisbətini nisbətin loqarifmi kimi yazmaq: $\frac{\log_a x}{\log_a y} \ne \log_a \frac{x}{y}$ . Əslində $\frac{\log_a x}{\log_a y} = \log_y x$ .
Şərtləri unutmaq: $\log_a x^2 = 2\log_a x$ yazıb mənfi $x$ -ləri itirmək (düzgünü $2\log_a |x|$ ). Həmçinin $(\log_a x)^2$ və $\log_a x^2$ fərqli ifadələrdir.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et