Üstlü funksiya, onun xassələri və qrafiki

şəklində funksiyaya üstlü funksiya deyilir. Əsasa belə şərtlər qoyulmasının səbəbi:

• $a = 1$ olduqda $1^x = 1$ alınır, yəni funksiya sabitdir;
• $a < 0$ olduqda ifadə bütün $x$ üçün təyin olunmur: məsələn, $(-4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-4}$ həqiqi ədəd deyil;
• $a = 0$ olduqda $0^x$ ifadəsi $x \le 0$ üçün mənasızdır.

Faydalı bərabərlik: $a^{-x} = \left(\frac{1}{a}\right)^x$. Məsələn, $2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x$.

1. Təyin oblastı: $D(y) = \mathbb{R}$, yəni bütün həqiqi ədədlər.
2. Qiymətlər çoxluğu: $E(y) = (0; +\infty)$. İstənilən $x$ üçün $a^x > 0$.
3. Funksiyanın sıfırı yoxdur: qrafik $Ox$ oxunu kəsmir, lakin ona istənilən qədər yaxınlaşır. $Ox$ oxu ($y = 0$) qrafikin üfüqi asimptotudur.
4. Qrafik $Oy$ oxunu $(0; 1)$ nöqtəsində kəsir, çünki $a^0 = 1$.
5. $a > 1$ olduqda funksiya bütün ədəd oxunda artır, $0 < a < 1$ olduqda isə azalır.
6. Funksiya nə cüt, nə tək, nə də dövridir.
7. Monotonluqdan alınır ki, $a^{x_1} = a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 = x_2$.

$y = 2^x$ üçün bir neçə nöqtə tapaq: $x = -2, -1, 0, 1, 2, 3$ olduqda $y = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$ alınır. Sola getdikcə qiymətlər sıfıra yaxınlaşır, amma sıfır olmur; sağa getdikcə sürətlə böyüyür.

$y = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ funksiyasının qrafiki $y = 2^x$ qrafikinə $Oy$ oxuna nəzərən simmetrikdir.

Sürüşmələr:

• $y = a^x + b$ qrafiki $y = a^x$ qrafikini $b$ vahid yuxarı ($b < 0$ olduqda $|b|$ vahid aşağı) sürüşdürməklə alınır; onun asimptotu $y = b$, qiymətlər çoxluğu $(b; +\infty)$ olur.
• $y = a^{x - c}$ qrafiki $y = a^x$ qrafikini $c$ vahid sağa ($c < 0$ olduqda $|c|$ vahid sola) sürüşdürməklə alınır; asimptot $y = 0$ və qiymətlər çoxluğu dəyişmir.

Eyni əsaslı qüvvətləri üstlərinə görə müqayisə edirik:

• $a > 1$ olduqda: $a^m > a^n \Leftrightarrow m > n$ (bərabərsizliyin işarəsi saxlanılır);
• $0 < a < 1$ olduqda: $a^m > a^n \Leftrightarrow m < n$ (işarə əksinə dəyişir).

Məsələn, $3^{0{,}7} > 3^{0{,}5}$, çünki $3 > 1$ və $0{,}7 > 0{,}5$. Lakin $(0{,}4)^{0{,}7} < (0{,}4)^{0{,}5}$, çünki $0 < 0{,}4 < 1$. Əsaslar fərqlidirsə, əvvəlcə onları eyni əsasa gətirin.

Bütün $y = a^x$ qrafikləri $(0; 1)$ nöqtəsindən keçir. $a > 1$ olduqda əsas nə qədər böyükdürsə, $x > 0$ olduqda qrafik bir o qədər sürətlə qalxır: məsələn, $x > 0$ üçün $3^x > 2^x$, $x < 0$ üçün isə $3^x < 2^x$.

Qrafikin bir nöqtəsi məlumdursa, əsası tapmaq olar. Məsələn, $y = a^x$ qrafiki $(2; 9)$ nöqtəsindən keçirsə, $a^2 = 9$ olur və $a > 0$ olduğundan $a = 3$.

Xüsusi əhəmiyyəti olan əsas $e \approx 2{,}718$ ədədidir. $y = e^x$ funksiyası eksponent adlanır; $e > 1$ olduğundan o, artan funksiyadır.