Çevirmənin əsas nisbəti

Hər şey bir bərabərlikdən çıxır: $180^\circ = \pi$ rad. Bucağın dərəcə ölçüsü $n^\circ$ , radian ölçüsü $\alpha$ olarsa,

\frac{\alpha}{\pi} = \frac{n}{180}.

Buradan iki düstur alınır:

\alpha = \frac{\pi n}{180},

n = \frac{180\alpha}{\pi}.

Praktik qayda: radiandan dərəcəyə keçəndə $\pi$ əvəzinə $180^\circ$ yazın; dərəcədən radiana keçəndə dərəcə sayını $180$ -ə bölüb $\pi$ -yə vurun və kəsri ixtisar edin. Məsələn, $\frac{7\pi}{9} = \frac{7 \cdot 180^\circ}{9} = 140^\circ$ , $330^\circ = \frac{330\pi}{180} = \frac{11\pi}{6}$ .

Mənfi və böyük bucaqlar da eyni qaydada çevrilir: $-\frac{7\pi}{4} = -315^\circ$ , $540^\circ = 3\pi$ .

Dəqiqə və saniyə ilə verilmiş bucaqlar

$1^\circ = 60'$ və $1' = 60''$ olduğundan dəqiqələri dərəcənin hissəsinə çevirmək üçün onları $60$ -a bölmək lazımdır: $30' = 0{,}5^\circ$ , $15' = 0{,}25^\circ$ , $12' = 0{,}2^\circ$ .

$67^\circ 30' = 67{,}5^\circ = \frac{67{,}5\pi}{180} = \frac{3\pi}{8}$ .
Tərsinə: $\frac{\pi}{16} = \frac{180^\circ}{16} = 11{,}25^\circ$ . Kəsr hissəni dəqiqəyə çeviririk: $0{,}25 \cdot 60' = 15'$ . Deməli, $\frac{\pi}{16} = 11^\circ 15'$ .

İxtisarı asanlaşdırmaq üçün dəqiqəli bucağı bütövlükdə dəqiqə ilə də yazmaq olar: $67^\circ 30' = 4050'$ , $180^\circ = 10800'$ , onda $\frac{4050}{10800}\pi = \frac{3\pi}{8}$ .

π-siz yazılmış radianlar və rüblər

Bucaq $1$ , $2$ , $5$ radian kimi də verilə bilər. Burada $\pi \approx 3{,}14$ adi ədəd kimi işlənir: $1$ rad $= \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}3^\circ$ , $2$ rad $\approx 114{,}6^\circ$ .

Bucağın hansı rübdə olduğunu bilmək üçün onu sərhəd bucaqlarının təqribi qiymətləri ilə müqayisə edin:

\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57,

\pi \approx 3{,}14,

\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71,

2\pi \approx 6{,}28.

Deməli, $1$ rad I rübdə, $2$ və $3$ rad II rübdə, $4$ rad III rübdə, $5$ və $6$ rad isə IV rübdədir. Məsələn, $3 < \pi$ olduğundan $\sin 3 > 0$ , $\cos 3 < 0$ .

Tətbiqlər: çoxbucaqlılar və saat

Qabarıq $n$ -bucaqlının daxili bucaqlarının cəmi $180^\circ (n - 2)$ , yəni $\pi(n - 2)$ radiandır. Düzgün $n$ -bucaqlının hər bucağı $\frac{\pi(n - 2)}{n}$ olur. Məsələn, düzgün altıbucaqlının bucağı $\frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ , yəni $120^\circ$ .

Saatın əqrəbləri də yaxşı nümunədir. Dəqiqə əqrəbi $60$ dəqiqədə $2\pi$ , yəni hər dəqiqədə $\frac{\pi}{30}$ ( $6^\circ$ ) dönür. Saat əqrəbi $12$ saatda $2\pi$ , yəni hər saatda $\frac{\pi}{6}$ ( $30^\circ$ ) dönür. Məsələn, $20$ dəqiqədə dəqiqə əqrəbi $20 \cdot \frac{\pi}{30} = \frac{2\pi}{3}$ bucaq qədər dönür.

Yadda saxla

$180^\circ = \pi$ rad; $\frac{\alpha}{\pi} = \frac{n}{180}$ .
Radiandan dərəcəyə: $\pi$ əvəzinə $180^\circ$ yazın; dərəcədən radiana: $\frac{\pi}{180}$ ədədinə vurun.
Dəqiqələri $60$ -a bölüb dərəcəyə çevirin: $30' = 0{,}5^\circ$ , $12' = 0{,}2^\circ$ .
$1$ rad $\approx 57{,}3^\circ$ ; rüblərin sərhədləri təqribən $1{,}57$ ; $3{,}14$ ; $4{,}71$ ; $6{,}28$ radiandır.
Düzgün $n$ -bucaqlının bucağı $\frac{\pi(n - 2)}{n}$ radiandır.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
$157^\circ 30'$ bucağını radianla, $\frac{5\pi}{24}$ radianlıq bucağı isə dərəcə və dəqiqə ilə ifadə edin.
Həlli
1. $30' = 0{,}5^\circ$ , deməli, $157^\circ 30' = 157{,}5^\circ$ . Radiana keçirik: $\frac{157{,}5\pi}{180} = \frac{1575\pi}{1800} = \frac{7\pi}{8}$ (surət və məxrəci $225$ -ə ixtisar etdik).
2. $\frac{5\pi}{24} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{24} = \frac{900^\circ}{24} = 37{,}5^\circ$ . $0{,}5^\circ = 30'$ olduğundan bu bucaq $37^\circ 30'$ edir.
Cavab: $\frac{7\pi}{8}$ ; $37^\circ 30'$ .
Misal 2
Üçbucağın bucaqları $2 : 3 : 7$ nisbətindədir. Ən böyük bucağı radianla və dərəcə ilə tapın.
Həlli
Bucaqlar $2k$ , $3k$ , $7k$ olsun. Üçbucağın bucaqlarının cəmi $\pi$ olduğundan $12k = \pi$ , $k = \frac{\pi}{12}$ .

Ən böyük bucaq: $7k = \frac{7\pi}{12}$ . Dərəcəyə keçirik: $\frac{7 \cdot 180^\circ}{12} = 105^\circ$ .

Yoxlama: digər bucaqlar $\frac{2\pi}{12} = 30^\circ$ və $\frac{3\pi}{12} = 45^\circ$ ; $30^\circ + 45^\circ + 105^\circ = 180^\circ$ .

Cavab: $\frac{7\pi}{12}$ , yəni $105^\circ$ .

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

$1^\circ 12'$ bucağının radian ölçüsünü tapın.
1. $\frac{\pi}{180}$
2. $\frac{\pi}{150}$
3. $\frac{\pi}{120}$
4. $\frac{\pi}{100}$
5. $\frac{\pi}{15}$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B $\frac{\pi}{150}$
$12' = \left(\frac{12}{60}\right)^\circ = 0{,}2^\circ$ , deməli, $1^\circ 12' = 1{,}2^\circ$ . Radiana keçirik: $\frac{1{,}2\pi}{180} = \frac{12\pi}{1800} = \frac{\pi}{150}$ .
Düzgün səkkizbucaqlının daxili bucağının radian ölçüsünü tapın.
1. $\frac{3\pi}{5}$
2. $\frac{2\pi}{3}$
3. $\frac{3\pi}{4}$
4. $\frac{5\pi}{6}$
5. $\frac{7\pi}{8}$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C $\frac{3\pi}{4}$
Düzgün $n$ -bucaqlının bucağı $\frac{\pi(n - 2)}{n}$ olduğundan $n = 8$ üçün $\frac{6\pi}{8} = \frac{3\pi}{4}$ , yəni $135^\circ$ .
Aşağıdakı bucaqlardan hansı III rübdədir?
1. $2$ rad
2. $3$ rad
3. $4$ rad
4. $5$ rad
5. $6$ rad
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C $4$ rad
III rüb $\pi \approx 3{,}14$ ilə $\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$ arasındadır. Bu aralığa yalnız $4$ düşür: $3{,}14 < 4 < 4{,}71$ . $3$ rad isə $\pi$ -dən bir az kiçikdir və II rübdədir.

Tipik səhvlər

$\pi$ -siz yazılmış bucağı dərəcə saymaq: $\sin 2$ ifadəsində bucaq $2^\circ$ deyil, $2$ radiandır (təqribən $114{,}6^\circ$ ).
Dəqiqələri onluq kəsr kimi oxumaq: $1^\circ 12'$ bucağını $1{,}12^\circ$ yazmaq. Düzgünü $12' = 0{,}2^\circ$ , yəni $1{,}2^\circ$ .
Çevirəndə vuruğu qarışdırmaq. Özünüzü yoxlayın: $180^\circ$ mütləq $\pi$ , $90^\circ$ isə $\frac{\pi}{2}$ olmalıdır.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et