Основная пропорция

Всё следует из одного равенства: $180^\circ = \pi$ рад. Если градусная мера угла равна $n^\circ$ , а радианная равна $\alpha$ , то

\frac{\alpha}{\pi} = \frac{n}{180}.

Отсюда получаем две формулы:

\alpha = \frac{\pi n}{180},

n = \frac{180\alpha}{\pi}.

Практическое правило: при переходе от радианов к градусам замените $\pi$ на $180^\circ$ ; при переходе от градусов к радианам разделите число градусов на $180$ , умножьте на $\pi$ и сократите дробь. Например, $\frac{7\pi}{9} = \frac{7 \cdot 180^\circ}{9} = 140^\circ$ , $330^\circ = \frac{330\pi}{180} = \frac{11\pi}{6}$ .

Отрицательные и большие углы переводятся так же: $-\frac{7\pi}{4} = -315^\circ$ , $540^\circ = 3\pi$ .

Углы с минутами и секундами

Так как $1^\circ = 60'$ и $1' = 60''$ , минуты переводят в доли градуса делением на $60$ : $30' = 0{,}5^\circ$ , $15' = 0{,}25^\circ$ , $12' = 0{,}2^\circ$ .

$67^\circ 30' = 67{,}5^\circ = \frac{67{,}5\pi}{180} = \frac{3\pi}{8}$ .
Обратно: $\frac{\pi}{16} = \frac{180^\circ}{16} = 11{,}25^\circ$ . Дробную часть переводим в минуты: $0{,}25 \cdot 60' = 15'$ . Значит, $\frac{\pi}{16} = 11^\circ 15'$ .

Чтобы было проще сокращать, угол с минутами можно целиком записать в минутах: $67^\circ 30' = 4050'$ , $180^\circ = 10800'$ , тогда $\frac{4050}{10800}\pi = \frac{3\pi}{8}$ .

Радианы без π и координатные четверти

Угол может быть задан и как $1$ , $2$ , $5$ радиан. Здесь $\pi \approx 3{,}14$ используется как обычное число: $1$ рад $= \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}3^\circ$ , $2$ рад $\approx 114{,}6^\circ$ .

Чтобы узнать, в какой четверти лежит угол, сравните его с приближёнными значениями граничных углов:

\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57,

\pi \approx 3{,}14,

\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71,

2\pi \approx 6{,}28.

Значит, угол $1$ рад лежит в I четверти, углы $2$ и $3$ рад во II четверти, $4$ рад в III четверти, а $5$ и $6$ рад в IV четверти. Например, $3 < \pi$ , поэтому $\sin 3 > 0$ , $\cos 3 < 0$ .

Применения: многоугольники и часы

Сумма внутренних углов выпуклого $n$ -угольника равна $180^\circ (n - 2)$ , то есть $\pi(n - 2)$ радиан. Каждый угол правильного $n$ -угольника равен $\frac{\pi(n - 2)}{n}$ . Например, угол правильного шестиугольника равен $\frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ , то есть $120^\circ$ .

Стрелки часов — тоже хороший пример. Минутная стрелка за $60$ минут поворачивается на $2\pi$ , то есть за минуту на $\frac{\pi}{30}$ ( $6^\circ$ ). Часовая стрелка за $12$ часов поворачивается на $2\pi$ , то есть за час на $\frac{\pi}{6}$ ( $30^\circ$ ). Например, за $20$ минут минутная стрелка поворачивается на угол $20 \cdot \frac{\pi}{30} = \frac{2\pi}{3}$ .

Запомните

$180^\circ = \pi$ рад; $\frac{\alpha}{\pi} = \frac{n}{180}$ .
Из радианов в градусы: замените $\pi$ на $180^\circ$ ; из градусов в радианы: умножьте на $\frac{\pi}{180}$ .
Минуты переводите в градусы делением на $60$ : $30' = 0{,}5^\circ$ , $12' = 0{,}2^\circ$ .
$1$ рад $\approx 57{,}3^\circ$ ; границы четвертей примерно $1{,}57$ ; $3{,}14$ ; $4{,}71$ ; $6{,}28$ радиана.
Угол правильного $n$ -угольника равен $\frac{\pi(n - 2)}{n}$ радиан.

Разобранные примеры

Пример 1
Выразите угол $157^\circ 30'$ в радианах, а угол $\frac{5\pi}{24}$ радиан в градусах и минутах.
Решение
1. $30' = 0{,}5^\circ$ , значит, $157^\circ 30' = 157{,}5^\circ$ . Переводим в радианы: $\frac{157{,}5\pi}{180} = \frac{1575\pi}{1800} = \frac{7\pi}{8}$ (числитель и знаменатель сократили на $225$ ).
2. $\frac{5\pi}{24} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{24} = \frac{900^\circ}{24} = 37{,}5^\circ$ . Так как $0{,}5^\circ = 30'$ , этот угол равен $37^\circ 30'$ .
Ответ: $\frac{7\pi}{8}$ ; $37^\circ 30'$ .
Пример 2
Углы треугольника относятся как $2 : 3 : 7$ . Найдите наибольший угол в радианах и в градусах.
Решение
Пусть углы равны $2k$ , $3k$ , $7k$ . Сумма углов треугольника равна $\pi$ , поэтому $12k = \pi$ , $k = \frac{\pi}{12}$ .

Наибольший угол: $7k = \frac{7\pi}{12}$ . Переводим в градусы: $\frac{7 \cdot 180^\circ}{12} = 105^\circ$ .

Проверка: остальные углы равны $\frac{2\pi}{12} = 30^\circ$ и $\frac{3\pi}{12} = 45^\circ$ ; $30^\circ + 45^\circ + 105^\circ = 180^\circ$ .

Ответ: $\frac{7\pi}{12}$ , то есть $105^\circ$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Найдите радианную меру угла $1^\circ 12'$ .
1. $\frac{\pi}{180}$
2. $\frac{\pi}{150}$
3. $\frac{\pi}{120}$
4. $\frac{\pi}{100}$
5. $\frac{\pi}{15}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $\frac{\pi}{150}$
$12' = \left(\frac{12}{60}\right)^\circ = 0{,}2^\circ$ , значит, $1^\circ 12' = 1{,}2^\circ$ . Переводим в радианы: $\frac{1{,}2\pi}{180} = \frac{12\pi}{1800} = \frac{\pi}{150}$ .
Найдите радианную меру внутреннего угла правильного восьмиугольника.
1. $\frac{3\pi}{5}$
2. $\frac{2\pi}{3}$
3. $\frac{3\pi}{4}$
4. $\frac{5\pi}{6}$
5. $\frac{7\pi}{8}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $\frac{3\pi}{4}$
Угол правильного $n$ -угольника равен $\frac{\pi(n - 2)}{n}$ , поэтому при $n = 8$ получаем $\frac{6\pi}{8} = \frac{3\pi}{4}$ , то есть $135^\circ$ .
Какой из углов лежит в III четверти?
1. $2$ рад
2. $3$ рад
3. $4$ рад
4. $5$ рад
5. $6$ рад
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $4$ рад
III четверть лежит между $\pi \approx 3{,}14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$ . В этот промежуток попадает только $4$ : $3{,}14 < 4 < 4{,}71$ . Угол $3$ рад немного меньше $\pi$ и лежит во II четверти.

Типичные ошибки

Считать угол без $\pi$ градусным: в выражении $\sin 2$ угол равен не $2^\circ$ , а $2$ радианам (примерно $114{,}6^\circ$ ).
Читать минуты как десятичную дробь: записывать $1^\circ 12'$ как $1{,}12^\circ$ . Правильно: $12' = 0{,}2^\circ$ , то есть $1{,}2^\circ$ .
Путать множитель при переводе. Проверяйте себя: $180^\circ$ обязательно должно давать $\pi$ , а $90^\circ$ давать $\frac{\pi}{2}$ .

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото