Показательная функция, её свойства и график

Функция вида

называется показательной. Условия на основание объясняются так:

• при $a = 1$ получаем $1^x = 1$, то есть постоянную функцию;
• при $a < 0$ выражение определено не при всех $x$: например, $(-4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-4}$ не является действительным числом;
• при $a = 0$ выражение $0^x$ не имеет смысла при $x \le 0$.

Полезное равенство: $a^{-x} = \left(\frac{1}{a}\right)^x$. Например, $2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x$.

1. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$, все действительные числа.
2. Множество значений: $E(y) = (0; +\infty)$. При любом $x$ выполняется $a^x > 0$.
3. Нулей нет: график не пересекает ось $Ox$, но сколь угодно близко к ней подходит. Ось $Ox$ ($y = 0$) является горизонтальной асимптотой.
4. График пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 1)$, так как $a^0 = 1$.
5. При $a > 1$ функция возрастает на всей числовой прямой, при $0 < a < 1$ убывает.
6. Функция не является ни чётной, ни нечётной, ни периодической.
7. Из монотонности следует: $a^{x_1} = a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 = x_2$.

Найдём несколько точек графика $y = 2^x$: при $x = -2, -1, 0, 1, 2, 3$ получаем $y = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$. Влево значения приближаются к нулю, но никогда его не достигают; вправо быстро растут.

График функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ симметричен графику $y = 2^x$ относительно оси $Oy$.

Сдвиги:

• график $y = a^x + b$ получается сдвигом графика $y = a^x$ на $b$ единиц вверх (при $b < 0$ на $|b|$ единиц вниз); его асимптота $y = b$, множество значений $(b; +\infty)$;
• график $y = a^{x - c}$ получается сдвигом графика $y = a^x$ на $c$ единиц вправо (при $c < 0$ на $|c|$ единиц влево); асимптота $y = 0$ и множество значений при этом не меняются.

Степени с одинаковым основанием сравнивают по показателям:

• при $a > 1$: $a^m > a^n \Leftrightarrow m > n$ (знак неравенства сохраняется);
• при $0 < a < 1$: $a^m > a^n \Leftrightarrow m < n$ (знак меняется на противоположный).

Например, $3^{0{,}7} > 3^{0{,}5}$, так как $3 > 1$ и $0{,}7 > 0{,}5$. Но $(0{,}4)^{0{,}7} < (0{,}4)^{0{,}5}$, так как $0 < 0{,}4 < 1$. Если основания разные, сначала приведите их к одному основанию.

Все графики $y = a^x$ проходят через точку $(0; 1)$. При $a > 1$ чем больше основание, тем круче поднимается график при $x > 0$: например, при $x > 0$ выполняется $3^x > 2^x$, а при $x < 0$, наоборот, $3^x < 2^x$.

Если известна точка графика, можно найти основание. Например, если график $y = a^x$ проходит через точку $(2; 9)$, то $a^2 = 9$, и так как $a > 0$, получаем $a = 3$.

Особое основание — число $e \approx 2{,}718$. Функцию $y = e^x$ называют экспонентой; так как $e > 1$, она возрастает.