Показательные уравнения и способы их решения

Рассмотрим уравнение $a^x = b$ ($a > 0$, $a \neq 1$). Так как $a^x$ всегда положительно:

• при $b \le 0$ решений нет (например, $2^x = -4$);
• при $b > 0$ есть единственный корень $x = \log_a b$.

Если число $b$ записывается как степень с основанием $a$, логарифм не нужен: $5^x = \frac{1}{25} = 5^{-2} \Rightarrow x = -2$.

В основе всех способов лежит правило, которое следует из монотонности показательной функции:

Приведение к одному основанию. Записываем обе части как степени с одинаковым основанием:

Вынесение общего множителя за скобки. Если основания одинаковы, а показатели отличаются на постоянное число, выносим за скобки степень с наименьшим показателем ($a^{x+k} = a^x \cdot a^k$):

Если в уравнении одновременно есть $a^{2x}$ и $a^x$, замена $t = a^x$ приводит к квадратному уравнению. Обязательно запишите условие $t > 0$.

Так как $4^x = (2^x)^2$, берём $t = 2^x$, $t > 0$: $t^2 - 3t - 4 = 0$, откуда $t_1 = 4$, $t_2 = -1$. Значение $t_2 = -1 < 0$ не подходит. Остаётся $2^x = 4$, то есть $x = 2$.

Однородные уравнения. Если в уравнении есть члены вида $a^{2x}$, $a^x b^x$ и $b^{2x}$ (сумма показателей в каждом члене одна и та же), делим обе части на $b^{2x}$ и делаем замену $t = \left(\frac{a}{b}\right)^x$. Например, в уравнении $9^x + 6^x = 2 \cdot 4^x$ имеем $9^x = 3^{2x}$, $6^x = 3^x \cdot 2^x$, $4^x = 2^{2x}$. Разделим обе части на $4^x > 0$:

Пусть $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x > 0$: $t^2 + t - 2 = 0$, $t = 1$ или $t = -2$ (не подходит). $\left(\frac{3}{2}\right)^x = 1 \Rightarrow x = 0$.

Частный случай: если $a^x = b^x$ и $a \neq b$, то $\left(\frac{a}{b}\right)^x = 1$, то есть $x = 0$.

Логарифмирование. Если привести степени к одному основанию нельзя, логарифмируем обе части: $3^x = 7 \Rightarrow x = \log_3 7$.

Некоторые уравнения перечисленными способами не решаются, например $2^x = 3 - x$. Здесь помогает монотонность: функция $y = 2^x$ возрастает, а $y = 3 - x$ убывает. Графики возрастающей и убывающей функций пересекаются не более чем в одной точке, значит, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим $x = 1$: $2^1 = 3 - 1 = 2$. Следовательно, $x = 1$ — единственный корень.

Как выбрать способ:

1. Если все степени приводятся к одному основанию, приравняйте показатели.
2. Если показатели отличаются на постоянное число, вынесите общий множитель за скобки.
3. Если одновременно есть $a^{2x}$ и $a^x$, введите новую переменную.
4. Если есть члены вида $a^{2x}$, $a^x b^x$, $b^{2x}$, разделите обе части на $b^{2x}$, как в однородном уравнении.
5. Если ничего не подходит, логарифмируйте или используйте монотонность.