Приведение к одному основанию

Запишите обе части каждого уравнения как степени с одинаковым основанием и примените свойство $a^{f} = a^{g} \iff f = g$ ( $a > 0$ , $a \ne 1$ ). Тогда система превращается в обычную линейную систему для показателей. Например,

\begin{cases} 5^{x + y} = 125, \\ 2^{x - y} = \frac{1}{2} \end{cases} \iff \begin{cases} x + y = 3, \\ x - y = -1. \end{cases}

Сложив уравнения, получаем $2x = 2$ , то есть $x = 1$ , затем $y = 2$ . Ответ: $(1; 2)$ .

Умножение и деление уравнений

Если в уравнениях перемешаны разные основания, часто помогает почленно перемножить или разделить уравнения, так как $a^x b^x = (ab)^x$ . Например,

\begin{cases} 2^x \cdot 3^y = 12, \\ 2^y \cdot 3^x = 18. \end{cases}

Перемножив уравнения, получаем $2^{x + y} \cdot 3^{x + y} = 216$ , то есть $6^{x + y} = 6^3$ и $x + y = 3$ .

Разделив первое уравнение на второе, получаем $2^{x - y} \cdot 3^{y - x} = \frac{12}{18}$ , то есть $\left(\frac{2}{3}\right)^{x - y} = \frac{2}{3}$ и $x - y = 1$ .

Отсюда $x = 2$ , $y = 1$ . Проверка: $2^2 \cdot 3 = 12$ , $2 \cdot 3^2 = 18$ .

Новые переменные

Если в уравнениях степени $a^x$ и $b^y$ складываются или вычитаются, обозначьте $u = a^x$ , $v = b^y$ . Степени всегда положительны, поэтому записываем условие $u > 0$ , $v > 0$ .

Например, в системе $2^x + 3^y = 17$ , $2^{x + 2} - 3^{y + 1} = 5$ имеем $2^{x + 2} = 4u$ , $3^{y + 1} = 3v$ :

\begin{cases} u + v = 17, \\ 4u - 3v = 5. \end{cases}

Из первого уравнения $v = 17 - u$ . Подставив во второе, получаем $4u - 51 + 3u = 5$ , $7u = 56$ , $u = 8$ и $v = 9$ . Значит, $2^x = 8$ , $3^y = 9$ , то есть $(x; y) = (3; 2)$ .

Линейное и показательное уравнение вместе

Если одно уравнение системы линейное ( $x + y = 5$ , $x - y = 2$ и т. п.), из него можно выразить одну переменную и подставить в другое уравнение.

Когда известна сумма $x + y$ , удобнее способ суммы и произведения. Если взять $u = a^x$ , $v = a^y$ , то $uv = a^{x + y}$ оказывается известным числом, а $u + v$ получается из второго уравнения. Тогда по теореме Виета $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения.

В обоих случаях отрицательные и нулевые значения $u$ , $v$ отбрасывают: например, уравнение $2^x = -4$ решений не имеет.

Запомните

$a^{f} = a^{g} \iff f = g$ ( $a > 0$ , $a \ne 1$ ): система с одинаковыми основаниями сводится к обычной системе для показателей.
Если основания разные, перемножьте или разделите уравнения: $a^x b^x = (ab)^x$ .
При замене $u = a^x$ , $v = b^y$ условие $u > 0$ , $v > 0$ обязательно.
Если известна сумма $x + y$ , то $a^x \cdot a^y = a^{x + y}$ , и работает способ суммы и произведения.
Проверяйте найденный ответ в обоих уравнениях.

Разобранные примеры

Пример 1
Решите систему:

$\begin{cases} 2^x \cdot 4^y = 128, \\ 3^{x - y} = 3. \end{cases}$
Решение
1. Так как $4^y = 2^{2y}$ и $128 = 2^7$ , первое уравнение принимает вид $2^{x + 2y} = 2^7$ , то есть $x + 2y = 7$ .
2. Из второго уравнения $x - y = 1$ .
3. Вычитаем из первого уравнения второе: $3y = 6$ , $y = 2$ ; тогда $x = 3$ .
Проверка: $2^3 \cdot 4^2 = 8 \cdot 16 = 128$ , $3^{3 - 2} = 3$ .

Ответ: $(3; 2)$ .
Пример 2
Решите систему:

$\begin{cases} x + y = 5, \\ 2^x + 2^y = 12. \end{cases}$
Решение
Обозначим $u = 2^x > 0$ , $v = 2^y > 0$ . Тогда $uv = 2^{x + y} = 2^5 = 32$ и $u + v = 12$ .

По теореме Виета числа $u$ и $v$ являются корнями уравнения $t^2 - 12t + 32 = 0$ : $t_1 = 4$ , $t_2 = 8$ . Оба корня положительны.
- При $u = 4$ , $v = 8$ получаем $x = 2$ , $y = 3$ ;
- при $u = 8$ , $v = 4$ получаем $x = 3$ , $y = 2$ .
Проверка: $2 + 3 = 5$ , $2^2 + 2^3 = 4 + 8 = 12$ .

Ответ: $(2; 3)$ и $(3; 2)$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Пусть $(x_0; y_0)$ является решением системы $\begin{cases} 3^{x + y} = 81, \\ 2^{x - y} = \frac{1}{4}. \end{cases}$ Найдите произведение $x_0 \cdot y_0$ .
1. $-3$
2. $1$
3. $2$
4. $3$
5. $4$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $3$
$81 = 3^4$ и $\frac{1}{4} = 2^{-2}$ , значит, $x + y = 4$ и $x - y = -2$ . Сложив, получаем $2x = 2$ , $x = 1$ , тогда $y = 3$ . Произведение: $1 \cdot 3 = 3$ .
Пусть $(x_0; y_0)$ является решением системы $\begin{cases} 3^{x + 1} - 2^y = 19, \\ 3^x + 2^{y + 1} = 25. \end{cases}$ Найдите сумму $x_0 + y_0$ .
1. $3$
2. $4$
3. $5$
4. $6$
5. $7$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $5$
Обозначим $u = 3^x$ , $v = 2^y$ : $3u - v = 19$ , $u + 2v = 25$ . Из первого уравнения $v = 3u - 19$ ; подставив во второе, получаем $u + 6u - 38 = 25$ , $u = 9$ , $v = 8$ . Значит, $x = 2$ , $y = 3$ и $x_0 + y_0 = 5$ .
Пусть $(x_0; y_0)$ является решением системы $\begin{cases} x - y = 2, \\ 3^x + 3^y = 30. \end{cases}$ Найдите сумму $x_0 + y_0$ .
1. $2$
2. $4$
3. $5$
4. $6$
5. $8$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $4$
Так как $x = y + 2$ , получаем $3^{y + 2} + 3^y = 9 \cdot 3^y + 3^y = 10 \cdot 3^y = 30$ . Отсюда $3^y = 3$ , $y = 1$ , $x = 3$ , и сумма равна $4$ .

Типичные ошибки

Искать $x$ и по отрицательным корням, полученным после замены. Значение $u = a^x$ всегда положительно, значения $u \le 0$ отбрасывают.
Складывать показатели при сложении степеней: писать $2^x + 2^y = 2^{x + y}$ . Показатели складываются только при умножении: $2^x \cdot 2^y = 2^{x + y}$ .
Приравнивать показатели, не приведя степени к одному основанию: из $2^x \cdot 4^y = 128$ писать $x + y = 7$ . Сначала нужно учесть, что $4^y = 2^{2y}$ .

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото