Система и её решение

Запись вида

\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}

называется системой линейных уравнений с двумя переменными. Фигурная скобка показывает, что уравнения должны выполняться одновременно.

Решением системы называется пара $(x; y)$ , обращающая каждое уравнение в верное равенство. Например, пара $(3; 2)$ является решением системы $\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 7 \end{cases}$ : $3 + 4 = 7$ и $9 - 2 = 7$ . Пара, удовлетворяющая только одному уравнению, решением системы не является.

Решить систему значит найти все её решения или доказать, что их нет.

Способ подстановки

Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую. Удобно выбирать переменную с коэффициентом $1$ или $-1$ .
Подставляем полученное выражение в другое уравнение и получаем уравнение с одной переменной.
Решаем его, находим одну переменную, затем вычисляем вторую.

В системе выше из первого уравнения $x = 7 - 2y$ . Подставляем во второе: $3(7 - 2y) - y = 7$ , $21 - 7y = 7$ , $y = 2$ . Тогда $x = 7 - 4 = 3$ . Решение: $(3; 2)$ .

Способ сложения

Умножаем уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными. Затем складываем уравнения почленно, и эта переменная исчезает.

Пример: $\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 5x - 6y = 21 \end{cases}$ . Чтобы коэффициенты при $y$ стали $12$ и $-12$ , умножаем первое уравнение на 3, второе на 2:

\begin{cases} 9x + 12y = 15 \\ 10x - 12y = 42 \end{cases}

Складываем: $19x = 57$ , $x = 3$ . Из первого уравнения $9 + 4y = 5$ , $y = -1$ . Решение: $(3; -1)$ .

Если коэффициенты при переменной уже равны, уравнения можно почленно вычесть. Если после исключения переменной получилось $0 = 0$ , система имеет бесконечно много решений; если получилось неверное равенство вида $0 = c$ , где $c \ne 0$ , решений нет.

Какой способ выбрать? Если у одной из переменных коэффициент $1$ или $-1$ , короче способ подстановки. Если коэффициенты большие, удобнее способ сложения. Уравнение с дробными коэффициентами полезно сначала умножить на наименьшее общее кратное знаменателей, чтобы коэффициенты стали целыми.

Графический способ и число решений

График каждого уравнения — прямая. Решение системы — координаты общей точки этих прямых. Возможны три случая:

Прямые	Число решений	Условие на коэффициенты
пересекаются	одно решение	$\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}$
параллельны	решений нет	$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$
совпадают	бесконечно много решений	$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

Отношения записываются, когда знаменатели не равны нулю. Например, в системе $\begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ 4x - 6y = 12 \end{cases}$ второе уравнение получено из первого умножением на 2: прямые совпадают, решений бесконечно много.

Графический способ нагляден, но неточен, если координаты дробные. Поэтому ответ подтверждают алгебраически.

Запомните

Решение системы — пара $(x; y)$ , которая удовлетворяет обоим уравнениям одновременно.
Способ подстановки: выразить одну переменную и подставить в другое уравнение.
Способ сложения: умножить уравнения так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными, и сложить.
Если $\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}$ , решение одно; если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$ , решений нет; если все три отношения равны, решений бесконечно много.
Найденную пару проверяйте подстановкой в оба уравнения.

Разобранные примеры

Пример 1
Решите систему: $\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Решение
1. Умножаем первое уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей: $3x + 2y = 18$ .
2. Из второго уравнения $x = y + 1$ .
3. Подставляем в первое: $3(y + 1) + 2y = 18$ , $5y + 3 = 18$ , $y = 3$ .
4. $x = 3 + 1 = 4$ .
5. Проверка: $\frac{4}{2} + \frac{3}{3} = 2 + 1 = 3$ и $4 - 3 = 1$ . Верно.
Ответ: $(4; 3)$ .
Пример 2
Пара $(x_0; y_0)$ — решение системы $\begin{cases} 4x + 3y = -1 \\ 6x - 5y = 27 \end{cases}$ . Найдите произведение $x_0 \cdot y_0$ .
Решение
1. Уравниваем коэффициенты при $x$ : умножаем первое уравнение на 3, второе на 2: $12x + 9y = -3$ и $12x - 10y = 54$ .
2. Вычитаем из первого уравнения второе: $9y - (-10y) = -3 - 54$ , то есть $19y = -57$ , $y = -3$ .
3. $4x + 3 \cdot (-3) = -1$ , $4x = 8$ , $x = 2$ .
4. Проверка: $6 \cdot 2 - 5 \cdot (-3) = 12 + 15 = 27$ . Верно.
5. $x_0 \cdot y_0 = 2 \cdot (-3) = -6$ .
Ответ: $-6$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Пара $(x_0; y_0)$ — решение системы $\begin{cases} y = 2x - 5 \\ 3x + 2y = 18 \end{cases}$ . Найдите разность $x_0 - y_0$ .
1. $-1$
2. $1$
3. $7$
4. $2$
5. $12$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $1$
Подставим $y$ во второе уравнение: $3x + 2(2x - 5) = 18$ , $7x - 10 = 18$ , $x = 4$ . Тогда $y = 8 - 5 = 3$ . Проверка: $3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 18$ . Значит, $x_0 - y_0 = 4 - 3 = 1$ .
Пара $(2; -1)$ — решение системы $\begin{cases} ax + 3y = 5 \\ 4x + by = 10 \end{cases}$ . Найдите сумму $a + b$ .
1. $-2$
2. $0$
3. $4$
4. $2$
5. $6$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $2$
Подставим $x = 2$ , $y = -1$ . Первое уравнение: $2a - 3 = 5$ , $a = 4$ . Второе уравнение: $8 - b = 10$ , $b = -2$ . Значит, $a + b = 4 + (-2) = 2$ .
Пара $(x_0; y_0)$ — решение системы $\begin{cases} 5x + 3y = 23 \\ 3x + 5y = 17 \end{cases}$ . Найдите сумму $x_0 + y_0$ .
1. $3$
2. $4$
3. $5$
4. $6$
5. $8$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $5$
Сложим уравнения почленно: $8x + 8y = 40$ , откуда $x + y = 5$ . Решать систему полностью не нужно. Для проверки вычтем уравнения: $2x - 2y = 6$ , $x - y = 3$ ; тогда $x = 4$ , $y = 1$ , и действительно $5 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 23$ , $3 \cdot 4 + 5 \cdot 1 = 17$ .

Типичные ошибки

Подставлять выраженную переменную обратно в то же уравнение: получается бесполезное равенство вида $0 = 0$ . Подставлять нужно в другое уравнение.
При умножении уравнения на число умножать только левую часть и забывать про правую.
Найти одну переменную и записать её как ответ: решение системы — это пара $(x; y)$ .

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото