Определение и решение

Уравнение вида $ax + by = c$ , где $x$ и $y$ — переменные, а $a$ , $b$ , $c$ — данные числа, называется линейным уравнением с двумя переменными. Например: $2x + 3y = 12$ , $x - y = 0$ , $5x - 2y = 1$ .

Решением уравнения называется пара значений $(x; y)$ , которая обращает его в верное равенство. На первом месте в паре всегда стоит $x$ , на втором — $y$ . Например, пара $(3; 2)$ — решение уравнения $2x + 3y = 12$ , так как $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12$ . А пара $(2; 3)$ решением не является: $2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 13 \ne 12$ .

Почему решений бесконечно много

При $b \ne 0$ можно выразить $y$ через $x$ : $y = \frac{c - ax}{b}$ . Задаём $x$ любое значение и находим соответствующее $y$ . Для $2x + 3y = 12$ получаем $y = \frac{12 - 2x}{3}$ :

$x$	$-3$	$0$	$3$	$6$
$y$	$6$	$4$	$2$	$0$

Значит, если хотя бы один из коэффициентов $a$ и $b$ не равен нулю, уравнение имеет бесконечно много решений. Особый случай: уравнению $0 \cdot x + 0 \cdot y = c$ при $c = 0$ удовлетворяет любая пара, а при $c \ne 0$ решений нет.

График уравнения

Точки, координаты которых являются решениями уравнения, образуют прямую (если $a$ и $b$ не равны нулю одновременно). Чтобы построить прямую, достаточно двух точек; удобнее всего взять точки пересечения с осями:

при $x = 0$ получаем точку пересечения с осью $Oy$ ;
при $y = 0$ получаем точку пересечения с осью $Ox$ .

График уравнения $2x + 3y = 12$ проходит через точки $(0; 4)$ и $(6; 0)$ . При $b = 0$ график — вертикальная прямая $x = \frac{c}{a}$ , при $a = 0$ — горизонтальная прямая $y = \frac{c}{b}$ .

Точка лежит на графике тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнению.

Натуральные решения

В текстовых задачах переменные часто обозначают количество предметов, поэтому нужны только натуральные решения. Натуральные числа начинаются с 1.

Способ такой: выразить одну переменную через другую, из условия положительности обеих переменных ограничить возможные значения и проверить оставшиеся значения по одному. Если $a$ , $b$ , $c$ положительны, натуральных решений конечное число, и их можно выписать полностью.

Запомните

Линейное уравнение с двумя переменными: $ax + by = c$ ; решение — пара $(x; y)$ , первым пишется $x$ .
Если хотя бы один из коэффициентов $a$ , $b$ не равен нулю, решений бесконечно много, а график — прямая.
При $b \ne 0$ : $y = \frac{c - ax}{b}$ .
Пересечение с осями: подставь $x = 0$ , чтобы найти точку на оси $Oy$ , и $y = 0$ , чтобы найти точку на оси $Ox$ .
Точка принадлежит графику только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнению.

Разобранные примеры

Пример 1
Пара $(2; -1)$ является решением уравнения $ax + 3y = 7$ . Найдите $a$ , а затем значение $y$ при $x = 5$ .
Решение
1. Подставляем $x = 2$ , $y = -1$ : $2a + 3 \cdot (-1) = 7$ , то есть $2a - 3 = 7$ , $2a = 10$ , $a = 5$ .
2. Уравнение принимает вид $5x + 3y = 7$ .
3. При $x = 5$ : $25 + 3y = 7$ , $3y = -18$ , $y = -6$ .
4. Проверка: $5 \cdot 5 + 3 \cdot (-6) = 25 - 18 = 7$ . Верно.
Ответ: $a = 5$ ; $y = -6$ .
Пример 2
Найдите все решения уравнения $3x + 5y = 34$ в натуральных числах.
Решение
1. Выражаем $x$ : $x = \frac{34 - 5y}{3}$ . Так как $x$ натуральное, $34 - 5y > 0$ , то есть $5y < 34$ , $y \le 6$ .
2. При $y = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ выражение $34 - 5y$ равно соответственно $29, 24, 19, 14, 9, 4$ .
3. На 3 делятся только 24 и 9: при $y = 2$ получаем $x = 8$ , при $y = 5$ получаем $x = 3$ .
4. Проверка: $3 \cdot 8 + 5 \cdot 2 = 34$ и $3 \cdot 3 + 5 \cdot 5 = 34$ .
Ответ: $(8; 2)$ и $(3; 5)$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какая пара является решением уравнения $2x - 3y = 6$ ?
1. $(0; 2)$
2. $(3; 0)$
3. $(1; 1)$
4. $(-3; 0)$
5. $(2; 1)$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $(3; 0)$
Для $(3; 0)$ : $2 \cdot 3 - 3 \cdot 0 = 6$ — верно. Для $(0; 2)$ : $0 - 6 = -6 \ne 6$ ; подошла бы пара $(0; -2)$ . Остальные пары тоже не подходят: получается $-1$ , $-6$ и $1$ .
В какой точке график уравнения $4x + 5y = 20$ пересекает ось $Oy$ ?
1. $(5; 0)$
2. $(0; 5)$
3. $(4; 0)$
4. $(0; 4)$
5. $(0; -4)$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $(0; 4)$
На оси $Oy$ $x = 0$ : $5y = 20$ , $y = 4$ . Точка $(0; 4)$ . Точка $(5; 0)$ — это пересечение графика с осью $Ox$ .
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение $x + 2y = 11$ ?
1. 3
2. 4
3. 5
4. 6
5. бесконечно много
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 5
Нужно $x = 11 - 2y > 0$ , то есть $y \le 5$ . При $y = 1, 2, 3, 4, 5$ получаем $x = 9, 7, 5, 3, 1$ — все натуральные. Всего 5 решений.

Типичные ошибки

Путать порядок чисел в паре: в паре $(x; y)$ первое число — всегда значение $x$ .
Считать, что у линейного уравнения с двумя переменными одно решение; на самом деле их бесконечно много.
Учитывать 0 при подсчёте натуральных решений: натуральные числа начинаются с 1.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото