Сравнение чисел

Два числа сравнивают по их разности:

если $a - b > 0$ , то $a > b$ ;
если $a - b < 0$ , то $a < b$ ;
если $a - b = 0$ , то $a = b$ .

Этот способ особенно удобен для дробей и буквенных выражений. Например, $\frac{5}{7} - \frac{7}{10} = \frac{50 - 49}{70} = \frac{1}{70} > 0$ , значит, $\frac{5}{7} > \frac{7}{10}$ .

Неравенства со знаками $>$ и $<$ называются строгими, а со знаками $\ge$ и $\le$ — нестрогими. Запись $a \ge b$ означает « $a > b$ или $a = b$ », поэтому неравенство $4 \ge 4$ верно.

На координатной прямой большее число лежит правее меньшего: если $a > b$ , то точка $a$ находится правее точки $b$ .

Основные свойства

Если $a > b$ , то $b < a$ .
Если $a > b$ и $b > c$ , то $a > c$ (транзитивность).
Если $a > b$ , то $a + c > b + c$ при любом $c$ . Следствие: слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.
Если $a > b$ и $c > 0$ , то $ac > bc$ и $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ .
Если $a > b$ и $c < 0$ , то $ac < bc$ и $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ : при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Если $a$ и $b$ одного знака и $a > b$ , то $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ . Например, $5 > 2$ , но $\frac{1}{5} < \frac{1}{2}$ .

Все свойства доказываются через разность. Например, свойство 5: $ac - bc = (a - b)c$ ; здесь $a - b > 0$ , $c < 0$ , произведение отрицательно, значит, $ac < bc$ .

На что обратить внимание

Правило перехода к обратным числам работает только для чисел одного знака: $-2 < 3$ и $-\frac{1}{2} < \frac{1}{3}$ , знак здесь не меняется.
Нельзя умножать на букву, знак которой неизвестен: из $a > b$ не следует $ac > bc$ , ведь $c$ может быть отрицательным.
Полезный приём для доказательств: $t^2 \ge 0$ при любом $t$ . Например, $a^2 + 1 \ge 2a$ , так как $a^2 + 1 - 2a = (a - 1)^2 \ge 0$ .
Почленное сложение и умножение неравенств разобраны в отдельном уроке.

Запомните

$a > b$ тогда и только тогда, когда $a - b > 0$ : сравнение ведётся по знаку разности.
Прибавление или вычитание одного и того же числа из обеих частей не меняет знак.
Умножение и деление на положительное число сохраняют знак, на отрицательное — меняют его на противоположный.
Если $a > b$ и $b > c$ , то $a > c$ .
Для чисел одного знака из $a > b$ следует $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ .
При доказательстве неравенств часто помогает выделить в разности полный квадрат: $(a - b)^2 \ge 0$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Сравните числа $\frac{7}{9}$ и $\frac{11}{14}$ .
Решение
1. Находим разность, общий знаменатель $9 \cdot 14 = 126$ : $\frac{7}{9} - \frac{11}{14} = \frac{98 - 99}{126} = -\frac{1}{126}$ .
2. Разность отрицательна, значит, первое число меньше второго.
Ответ: $\frac{7}{9} < \frac{11}{14}$ .
Пример 2
Докажите, что $a^2 + 9 \ge 6a$ при любом $a$ . При каком $a$ достигается равенство?
Решение
1. Составляем разность левой и правой частей: $a^2 + 9 - 6a = a^2 - 6a + 9$ .
2. Это полный квадрат: $a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$ .
3. Квадрат любого числа неотрицателен: $(a - 3)^2 \ge 0$ . Значит, $a^2 + 9 - 6a \ge 0$ , то есть $a^2 + 9 \ge 6a$ .
4. Равенство достигается при $(a - 3)^2 = 0$ , то есть при $a = 3$ .
Ответ: неравенство доказано; равенство при $a = 3$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Известно, что $a > b$ . Какое из неравенств верно?
1. $a - 5 < b - 5$
2. $-2a > -2b$
3. $\frac{a}{3} > \frac{b}{3}$
4. $4 - a > 4 - b$
5. $-a > -b$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $\frac{a}{3} > \frac{b}{3}$
При делении на положительное число 3 знак сохраняется: $\frac{a}{3} > \frac{b}{3}$ . В B, D и E есть умножение на отрицательное число, там знак должен был поменяться. В A при вычитании одного и того же числа знак не должен был меняться.
Если $a < 0 < b$ , какое неравенство верно всегда?
1. $ab > 0$
2. $b - a < 0$
3. $a + b > 0$
4. $a^2 < b^2$
5. $\frac{a}{b} < 0$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: E $\frac{a}{b} < 0$
Частное чисел разных знаков отрицательно, поэтому $\frac{a}{b} < 0$ верно всегда. Так как $ab < 0$ и $b - a > 0$ , варианты A и B неверны. C и D зависят от чисел: например, при $a = -5$ , $b = 1$ получаем $a + b = -4 < 0$ и $a^2 = 25 > 1 = b^2$ .
Какое неравенство верно для чисел $x = \frac{8}{11}$ , $y = \frac{5}{7}$ , $z = \frac{3}{4}$ ?
1. $x < y < z$
2. $y < x < z$
3. $z < x < y$
4. $y < z < x$
5. $x < z < y$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $y < x < z$
$x - y = \frac{8}{11} - \frac{5}{7} = \frac{56 - 55}{77} = \frac{1}{77} > 0$ , значит, $y < x$ . $z - x = \frac{3}{4} - \frac{8}{11} = \frac{33 - 32}{44} = \frac{1}{44} > 0$ , значит, $x < z$ . Итого: $y < x < z$ .

Типичные ошибки

Забывать менять знак неравенства при умножении или делении на отрицательное число.
Переворачивать знак при переходе к обратным числам разных знаков: как и $-2 < 3$ , верно $-\frac{1}{2} < \frac{1}{3}$ .
Понимать знак $\ge$ только как «больше»: неравенство $4 \ge 4$ верно.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото