Ədədlərin müqayisəsi

İki ədədi onların fərqinə görə müqayisə edirik:

$a - b > 0$ olarsa, $a > b$ ;
$a - b < 0$ olarsa, $a < b$ ;
$a - b = 0$ olarsa, $a = b$ .

Bu üsul kəsrləri və hərfi ifadələri müqayisə edəndə çox kömək edir. Məsələn, $\frac{5}{7} - \frac{7}{10} = \frac{50 - 49}{70} = \frac{1}{70} > 0$ , deməli, $\frac{5}{7} > \frac{7}{10}$ .

$>$ və $<$ işarəli bərabərsizliklər ciddi, $\ge$ və $\le$ işarəlilər isə qeyri-ciddi bərabərsizliklərdir. $a \ge b$ yazılışı « $a > b$ və ya $a = b$ » deməkdir, ona görə $4 \ge 4$ doğrudur.

Ədəd oxunda böyük ədəd kiçik ədəddən sağda yerləşir: $a > b$ olarsa, $a$ nöqtəsi $b$ nöqtəsindən sağdadır.

Əsas xassələr

$a > b$ olarsa, $b < a$ .
$a > b$ və $b > c$ olarsa, $a > c$ (tranzitivlik).
$a > b$ olarsa, istənilən $c$ üçün $a + c > b + c$ . Nəticə: toplananı bərabərsizliyin bir tərəfindən digər tərəfinə əks işarə ilə keçirmək olar.
$a > b$ və $c > 0$ olarsa, $ac > bc$ və $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ .
$a > b$ və $c < 0$ olarsa, $ac < bc$ və $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ : mənfi ədədə vurduqda və ya böldükdə işarə tərsinə dəyişir.
$a$ və $b$ eyni işarəlidirsə və $a > b$ olarsa, $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ . Məsələn, $5 > 2$ , amma $\frac{1}{5} < \frac{1}{2}$ .

Xassələrin hamısı fərq üsulu ilə isbat olunur. Məsələn, 5-ci xassə: $ac - bc = (a - b)c$ ; burada $a - b > 0$ , $c < 0$ , hasil mənfidir, deməli, $ac < bc$ .

Diqqət tələb edən hallar

Tərs ədədlərə keçid qaydası yalnız eyni işarəli ədədlər üçündür: $-2 < 3$ və $-\frac{1}{2} < \frac{1}{3}$ , burada işarə dəyişmir.
Hərfin işarəsi məlum deyilsə, ona vurmaq olmaz: $a > b$ bərabərsizliyindən $ac > bc$ alınmır, çünki $c$ mənfi də ola bilər.
İsbat üçün faydalı fənd: istənilən $t$ üçün $t^2 \ge 0$ . Məsələn, $a^2 + 1 \ge 2a$ , çünki $a^2 + 1 - 2a = (a - 1)^2 \ge 0$ .
Bərabərsizliklərin tərəf-tərəfə toplanması və vurulması ayrıca dərsdə öyrənilir.

Yadda saxla

$a - b > 0$ olduqda $a > b$ , $a - b < 0$ olduqda $a < b$ : müqayisə fərqin işarəsinə görə aparılır.
Hər iki tərəfə eyni ədədi əlavə etmək və ya çıxmaq işarəni dəyişmir.
Müsbət ədədə vurma və bölmə işarəni saxlayır, mənfi ədədə vurma və bölmə işarəni tərsinə çevirir.
$a > b$ və $b > c$ olarsa, $a > c$ .
Eyni işarəli $a > b$ ədədləri üçün $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ .
Bərabərsizliyi isbat edərkən fərqi tam kvadrata gətirmək çox vaxt kömək edir: $(a - b)^2 \ge 0$ .

Həll olunmuş misallar

Misal 1
$\frac{7}{9}$ və $\frac{11}{14}$ ədədlərini müqayisə edin.
Həlli
1. Fərqi tapırıq, ortaq məxrəc $9 \cdot 14 = 126$ : $\frac{7}{9} - \frac{11}{14} = \frac{98 - 99}{126} = -\frac{1}{126}$ .
2. Fərq mənfidir, deməli, birinci ədəd ikincidən kiçikdir.
Cavab: $\frac{7}{9} < \frac{11}{14}$ .
Misal 2
İstənilən $a$ üçün $a^2 + 9 \ge 6a$ olduğunu isbat edin. Bərabərlik hansı halda ödənir?
Həlli
1. Sol və sağ tərəflərin fərqini tapırıq: $a^2 + 9 - 6a = a^2 - 6a + 9$ .
2. Bu, tam kvadratdır: $a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$ .
3. İstənilən ədədin kvadratı mənfi deyil: $(a - 3)^2 \ge 0$ . Deməli, $a^2 + 9 - 6a \ge 0$ , yəni $a^2 + 9 \ge 6a$ .
4. Bərabərlik $(a - 3)^2 = 0$ , yəni $a = 3$ olduqda ödənir.
Cavab: bərabərsizlik isbat olundu; bərabərlik $a = 3$ olduqda ödənir.

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

$a > b$ olduğu məlumdur. Aşağıdakı bərabərsizliklərdən hansı doğrudur?
1. $a - 5 < b - 5$
2. $-2a > -2b$
3. $\frac{a}{3} > \frac{b}{3}$
4. $4 - a > 4 - b$
5. $-a > -b$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C $\frac{a}{3} > \frac{b}{3}$
Müsbət 3 ədədinə böləndə işarə saxlanır: $\frac{a}{3} > \frac{b}{3}$ . B, D və E-də mənfi ədədə vurma var, orada işarə tərsinə dəyişməli idi. A-da isə eyni ədədi çıxanda işarə dəyişməməli idi.
$a < 0 < b$ olarsa, hansı bərabərsizlik həmişə doğrudur?
1. $ab > 0$
2. $b - a < 0$
3. $a + b > 0$
4. $a^2 < b^2$
5. $\frac{a}{b} < 0$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: E $\frac{a}{b} < 0$
Müxtəlif işarəli ədədlərin nisbəti mənfidir, ona görə $\frac{a}{b} < 0$ həmişə doğrudur. $ab < 0$ və $b - a > 0$ olduğu üçün A və B yalandır. C və D ədədlərdən asılıdır: məsələn, $a = -5$ , $b = 1$ olduqda $a + b = -4 < 0$ və $a^2 = 25 > 1 = b^2$ .
$x = \frac{8}{11}$ , $y = \frac{5}{7}$ , $z = \frac{3}{4}$ ədədləri üçün hansı bərabərsizlik doğrudur?
1. $x < y < z$
2. $y < x < z$
3. $z < x < y$
4. $y < z < x$
5. $x < z < y$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B $y < x < z$
$x - y = \frac{8}{11} - \frac{5}{7} = \frac{56 - 55}{77} = \frac{1}{77} > 0$ , deməli, $y < x$ . $z - x = \frac{3}{4} - \frac{8}{11} = \frac{33 - 32}{44} = \frac{1}{44} > 0$ , deməli, $x < z$ . Nəticə: $y < x < z$ .

Tipik səhvlər

Mənfi ədədə vurduqda və ya böldükdə bərabərsizlik işarəsini dəyişməyi unutmaq.
Tərs ədədlərə keçəndə işarəni müxtəlif işarəli ədədlər üçün də çevirmək: $-2 < 3$ olduğu kimi, $-\frac{1}{2} < \frac{1}{3}$ də doğrudur.
$\ge$ işarəsini yalnız «böyükdür» kimi başa düşmək: $4 \ge 4$ doğru bərabərsizlikdir.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et