Tərəf-tərəfə toplama

Eyni işarəli bərabərsizlikləri tərəf-tərəfə toplamaq olar: $a > b$ və $c > d$ olarsa, $a + c > b + d$ .

İsbat: $(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d)$ . Hər iki mötərizə müsbətdir, deməli, fərq də müsbətdir.

Məsələn, $3 < x < 5$ və $1 < y < 4$ olarsa, $4 < x + y < 9$ . İkiqat bərabərsizliklərdə sol sərhədlər öz aralarında, sağ sərhədlər öz aralarında toplanır.

Qayda ikidən çox bərabərsizlik üçün də doğrudur. Əks işarəli bərabərsizlikləri ( $a > b$ və $c < d$ ) isə birbaşa toplamaq olmaz.

Fərqin qiymətləndirilməsi

Eyni işarəli bərabərsizlikləri tərəf-tərəfə çıxmaq olmaz. Məsələn, $5 > 1$ və $4 > 0$ , amma $5 - 4 > 1 - 0$ yalandır, çünki $1 > 1$ doğru deyil.

Fərqi qiymətləndirmək üçün onu cəm kimi yazırıq: $x - y = x + (-y)$ . Əvvəlcə $-y$ üçün sərhədləri tapırıq. $-1$ -ə vuranda işarələr tərsinə dönür və sərhədlər yer dəyişir: $1 < y < 4$ olarsa, $-4 < -y < -1$ .

İndi $3 < x < 5$ ilə toplayırıq: $3 - 4 < x - y < 5 - 1$ , yəni $-1 < x - y < 4$ .

Qısa qayda: fərqin aşağı sərhədi = azalanın aşağı sərhədi − çıxılanın yuxarı sərhədi; fərqin yuxarı sərhədi = azalanın yuxarı sərhədi − çıxılanın aşağı sərhədi.

Tərəf-tərəfə vurma

Tərəfləri müsbət olan eyni işarəli bərabərsizlikləri tərəf-tərəfə vurmaq olar: $a > b > 0$ və $c > d > 0$ olarsa, $ac > bd$ .

İsbat: $ac - bd = c(a - b) + b(c - d)$ . Burada bütün vuruqlar müsbətdir, deməli, fərq müsbətdir.

Müsbətlik şərti vacibdir: $-1 > -2$ və $-3 > -4$ , amma $(-1) \cdot (-3) = 3$ , $(-2) \cdot (-4) = 8$ və $3 < 8$ .

Nəticələr:

$a > b > 0$ olarsa, istənilən natural $n$ üçün $a^n > b^n$ ; məsələn, $2 < x < 3$ olarsa, $4 < x^2 < 9$ və $8 < x^3 < 27$ ;
$a > b > 0$ olarsa, $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ . Buna görə qismət hasil kimi qiymətləndirilir: $\frac{x}{y} = x \cdot \frac{1}{y}$ .

Hasilin və qismətin qiymətləndirilməsi

$2 < x < 5$ və $1 < y < 3$ olsun; bütün sərhədlər müsbətdir.

Hasil: $2 \cdot 1 < xy < 5 \cdot 3$ , yəni $2 < xy < 15$ .
Qismət: əvvəlcə $\frac{1}{3} < \frac{1}{y} < 1$ , sonra $x$ üçün bərabərsizliklə vururuq: $\frac{2}{3} < \frac{x}{y} < 5$ .

Sərhədlərdən biri mənfi və ya sıfırdırsa, bu qaydanı birbaşa tətbiq etmək olmaz: işarələri ayrıca araşdırmaq lazımdır.

Qiymətləndirmə planı.

İfadəni cəm və hasil şəklində yazın: fərqi əks ədədin əlavə edilməsi, qisməti isə tərs ədədə vurma ilə əvəz edin.
Hər toplanan və vuruq üçün sərhədləri ayrıca tapın; ədədə vuranda onun işarəsinə diqqət edin.
Eyni işarəli bərabərsizlikləri toplayın, tərəfləri müsbət olduqda isə vurun.
Cavabda ciddi bərabərsizlik işarəsini saxlayın: sərhəd qiymətləri alınmır.

Belə qiymətləndirmə təqribi ölçmələrdə işlədilir: tərəflərin uzunluğu dəqiq bilinməsə də, perimetrin və sahənin hansı sərhədlər arasında olduğunu demək mümkündür.

Yadda saxla

$a > b$ və $c > d$ olarsa, $a + c > b + d$ : eyni işarəli bərabərsizlikləri toplamaq olar.
Bərabərsizlikləri tərəf-tərəfə çıxmaq olmaz: $x - y = x + (-y)$ yazın və $-y$ üçün sərhədləri tərsinə çevirin.
$a > b > 0$ və $c > d > 0$ olarsa, $ac > bd$ ; müsbətlik şərti olmadan vurmaq olmaz.
$a > b > 0$ olarsa, $a^n > b^n$ ( $n$ natural) və $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ .
$m_1 < x < M_1$ və $m_2 < y < M_2$ olarsa, $m_1 + m_2 < x + y < M_1 + M_2$ və $m_1 - M_2 < x - y < M_1 - m_2$ .

Həll olunmuş misallar

Misal 1
$2 < a < 5$ və $-3 < b < -1$ olduğu məlumdur. $2a - 3b$ ifadəsinin qiymətini qiymətləndirin.
Həlli
1. $2 < a < 5$ bərabərsizliyinin tərəflərini 2-yə vururuq: $4 < 2a < 10$ .
2. $-3 < b < -1$ bərabərsizliyinin tərəflərini $-3$ -ə vururuq. Mənfi ədədə vurduğumuz üçün işarələr tərsinə dönür: $9 > -3b > 3$ , yəni $3 < -3b < 9$ .
3. Eyni işarəli bərabərsizlikləri toplayırıq: $4 + 3 < 2a - 3b < 10 + 9$ .
Cavab: $7 < 2a - 3b < 19$ .
Misal 2
Düzbucaqlının tərəfləri santimetrlə ölçülüb: $5{,}2 < a < 5{,}3$ və $3{,}6 < b < 3{,}7$ . Düzbucaqlının perimetrini və sahəsini qiymətləndirin.
Həlli
1. Tərəfləri toplayırıq: $8{,}8 < a + b < 9$ .
2. Perimetr $P = 2(a + b)$ , ona görə $17{,}6 < P < 18$ .
3. Bütün ədədlər müsbətdir, deməli, tərəf-tərəfə vurmaq olar: $5{,}2 \cdot 3{,}6 < ab < 5{,}3 \cdot 3{,}7$ .
4. Hesablayırıq: $5{,}2 \cdot 3{,}6 = 18{,}72$ və $5{,}3 \cdot 3{,}7 = 19{,}61$ .
Cavab: $17{,}6 < P < 18$ (sm); $18{,}72 < S < 19{,}61$ (sm²).

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

$3 < x < 7$ və $2 < y < 4$ olarsa, $x - y$ fərqi hansı aralıqdadır?
1. $1 < x - y < 3$
2. $-1 < x - y < 5$
3. $1 < x - y < 5$
4. $-1 < x - y < 3$
5. $5 < x - y < 11$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B $-1 < x - y < 5$
$2 < y < 4$ olduğu üçün $-4 < -y < -2$ . Toplayırıq: $3 - 4 < x - y < 7 - 2$ , yəni $-1 < x - y < 5$ . A variantı sərhədləri tərəf-tərəfə çıxmaqdan alınır və səhvdir.
$2 < a < 3$ və $4 < b < 5$ olarsa, $3a + 2b$ ifadəsinin ala biləcəyi ən böyük tam qiymət neçədir?
1. 17
2. 19
3. 18
4. 16
5. 20
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C 18
$6 < 3a < 9$ və $8 < 2b < 10$ . Toplayırıq: $14 < 3a + 2b < 19$ . Bərabərsizlik ciddi olduğu üçün 19 qiyməti alınmır. 18 isə alınır, məsələn, $a = 2{,}8$ və $b = 4{,}8$ olduqda: $8{,}4 + 9{,}6 = 18$ .
Hansı təklif həmişə doğrudur?
1. $a > b$ və $c > d$ olarsa, $ac > bd$
2. $a > b$ və $c > d$ olarsa, $a - c > b - d$
3. $a > b$ ( $a \ne 0$ , $b \ne 0$ ) olarsa, $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$
4. $a > b$ olarsa, $a^2 > b^2$
5. $a > b > 0$ və $c > d > 0$ olarsa, $ac > bd$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: E $a > b > 0$ və $c > d > 0$ olarsa, $ac > bd$
E tərəf-tərəfə vurma xassəsidir. Qalanları üçün əks nümunələr var. A: $-1 > -2$ və $-3 > -4$ , amma $3 < 8$ . B: $5 > 1$ və $4 > 0$ , amma $1 > 1$ yalandır. C: $1 > -1$ , amma $1 < -1$ yalandır. D: $1 > -2$ , amma $1 > 4$ yalandır.

Tipik səhvlər

Bərabərsizlikləri tərəf-tərəfə çıxmaq: $3 < x < 7$ və $2 < y < 4$ üçün $1 < x - y < 3$ yazmaq. Düzgün cavab: $-1 < x - y < 5$ .
Sərhədlər mənfi olduqda bərabərsizlikləri tərəf-tərəfə vurmaq: bu qayda yalnız müsbət tərəflər üçündür.
Mənfi ədədə vuranda işarəni tərsinə çevirməyi və sərhədlərin yerini dəyişməyi unutmaq.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et