Почленное сложение

Неравенства одного знака можно почленно складывать: если $a > b$ и $c > d$ , то $a + c > b + d$ .

Доказательство: $(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d)$ . Обе скобки положительны, значит, и разность положительна.

Например, если $3 < x < 5$ и $1 < y < 4$ , то $4 < x + y < 9$ . В двойных неравенствах левые границы складываются между собой, правые между собой.

Правило верно и для трёх и более неравенств. Неравенства противоположного знака ( $a > b$ и $c < d$ ) складывать напрямую нельзя.

Оценка разности

Неравенства одного знака нельзя почленно вычитать. Например, $5 > 1$ и $4 > 0$ , но неравенство $5 - 4 > 1 - 0$ неверно: $1 > 1$ ложно.

Чтобы оценить разность, записываем её как сумму: $x - y = x + (-y)$ . Сначала находим границы для $-y$ . При умножении на $-1$ знаки меняются на противоположные, а границы меняются местами: если $1 < y < 4$ , то $-4 < -y < -1$ .

Теперь складываем с $3 < x < 5$ : $3 - 4 < x - y < 5 - 1$ , то есть $-1 < x - y < 4$ .

Коротко: нижняя граница разности = нижняя граница уменьшаемого − верхняя граница вычитаемого; верхняя граница разности = верхняя граница уменьшаемого − нижняя граница вычитаемого.

Почленное умножение

Неравенства одного знака с положительными частями можно почленно умножать: если $a > b > 0$ и $c > d > 0$ , то $ac > bd$ .

Доказательство: $ac - bd = c(a - b) + b(c - d)$ . Все множители положительны, значит, разность положительна.

Условие положительности обязательно: $-1 > -2$ и $-3 > -4$ , но $(-1) \cdot (-3) = 3$ , $(-2) \cdot (-4) = 8$ и $3 < 8$ .

Следствия:

если $a > b > 0$ , то $a^n > b^n$ для любого натурального $n$ ; например, если $2 < x < 3$ , то $4 < x^2 < 9$ и $8 < x^3 < 27$ ;
если $a > b > 0$ , то $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ . Поэтому частное оценивают как произведение: $\frac{x}{y} = x \cdot \frac{1}{y}$ .

Оценка произведения и частного

Пусть $2 < x < 5$ и $1 < y < 3$ ; все границы положительны.

Произведение: $2 \cdot 1 < xy < 5 \cdot 3$ , то есть $2 < xy < 15$ .
Частное: сначала $\frac{1}{3} < \frac{1}{y} < 1$ , затем умножаем на неравенство для $x$ : $\frac{2}{3} < \frac{x}{y} < 5$ .

Если какая-то граница отрицательна или равна нулю, это правило применять напрямую нельзя: знаки нужно исследовать отдельно.

План оценки.

Запишите выражение через суммы и произведения: разность замените прибавлением противоположного числа, частное умножением на обратное.
Для каждого слагаемого и множителя найдите границы отдельно; при умножении на число следите за его знаком.
Складывайте неравенства одного знака, а если их части положительны, умножайте.
Сохраняйте в ответе строгий знак: сами граничные значения не достигаются.

Такие оценки применяют при приближённых измерениях: даже если длины сторон известны неточно, можно сказать, в каких пределах находятся периметр и площадь.

Запомните

Если $a > b$ и $c > d$ , то $a + c > b + d$ : неравенства одного знака можно складывать.
Почленно вычитать неравенства нельзя: запишите $x - y = x + (-y)$ и переверните границы для $-y$ .
Если $a > b > 0$ и $c > d > 0$ , то $ac > bd$ ; без условия положительности умножать нельзя.
Если $a > b > 0$ , то $a^n > b^n$ ( $n$ натуральное) и $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ .
Если $m_1 < x < M_1$ и $m_2 < y < M_2$ , то $m_1 + m_2 < x + y < M_1 + M_2$ и $m_1 - M_2 < x - y < M_1 - m_2$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Известно, что $2 < a < 5$ и $-3 < b < -1$ . Оцените значение выражения $2a - 3b$ .
Решение
1. Умножаем части неравенства $2 < a < 5$ на 2: $4 < 2a < 10$ .
2. Умножаем части неравенства $-3 < b < -1$ на $-3$ . Число отрицательное, поэтому знаки меняются: $9 > -3b > 3$ , то есть $3 < -3b < 9$ .
3. Складываем неравенства одного знака: $4 + 3 < 2a - 3b < 10 + 9$ .
Ответ: $7 < 2a - 3b < 19$ .
Пример 2
Стороны прямоугольника измерены в сантиметрах: $5{,}2 < a < 5{,}3$ и $3{,}6 < b < 3{,}7$ . Оцените периметр и площадь прямоугольника.
Решение
1. Складываем: $8{,}8 < a + b < 9$ .
2. Периметр $P = 2(a + b)$ , поэтому $17{,}6 < P < 18$ .
3. Все числа положительны, значит, неравенства можно почленно умножить: $5{,}2 \cdot 3{,}6 < ab < 5{,}3 \cdot 3{,}7$ .
4. Вычисляем: $5{,}2 \cdot 3{,}6 = 18{,}72$ и $5{,}3 \cdot 3{,}7 = 19{,}61$ .
Ответ: $17{,}6 < P < 18$ (см); $18{,}72 < S < 19{,}61$ (см²).

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Известно, что $3 < x < 7$ и $2 < y < 4$ . В каких границах заключена разность $x - y$ ?
1. $1 < x - y < 3$
2. $-1 < x - y < 5$
3. $1 < x - y < 5$
4. $-1 < x - y < 3$
5. $5 < x - y < 11$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $-1 < x - y < 5$
Из $2 < y < 4$ следует $-4 < -y < -2$ . Складываем: $3 - 4 < x - y < 7 - 2$ , то есть $-1 < x - y < 5$ . Вариант A получается почленным вычитанием границ, а это ошибка.
Известно, что $2 < a < 3$ и $4 < b < 5$ . Какое наибольшее целое значение может принимать выражение $3a + 2b$ ?
1. 17
2. 19
3. 18
4. 16
5. 20
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 18
$6 < 3a < 9$ и $8 < 2b < 10$ . Складываем: $14 < 3a + 2b < 19$ . Неравенство строгое, поэтому значение 19 не достигается. Значение 18 достигается, например, при $a = 2{,}8$ и $b = 4{,}8$ : $8{,}4 + 9{,}6 = 18$ .
Какое утверждение верно всегда?
1. если $a > b$ и $c > d$ , то $ac > bd$
2. если $a > b$ и $c > d$ , то $a - c > b - d$
3. если $a > b$ ( $a \ne 0$ , $b \ne 0$ ), то $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$
4. если $a > b$ , то $a^2 > b^2$
5. если $a > b > 0$ и $c > d > 0$ , то $ac > bd$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: E если $a > b > 0$ и $c > d > 0$ , то $ac > bd$
E — это свойство почленного умножения. Для остальных есть контрпримеры. A: $-1 > -2$ и $-3 > -4$ , но $3 < 8$ . B: $5 > 1$ и $4 > 0$ , но $1 > 1$ ложно. C: $1 > -1$ , но $1 < -1$ ложно. D: $1 > -2$ , но $1 > 4$ ложно.

Типичные ошибки

Почленно вычитать неравенства: при $3 < x < 7$ и $2 < y < 4$ писать $1 < x - y < 3$ . Правильно: $-1 < x - y < 5$ .
Почленно умножать неравенства с отрицательными границами: правило действует только для положительных частей.
Забывать при умножении на отрицательное число менять знак неравенства и переставлять границы.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото