Числовые последовательности

Если каждому натуральному числу $n$ по некоторому правилу поставлено в соответствие число $a_n$, говорят, что задана числовая последовательность. Иначе говоря, последовательность — это функция, определённая на множестве натуральных чисел.

Числа $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ называются членами последовательности: $a_1$ — первый член, $a_n$ — $n$-й (общий) член, $n$ — номер члена. Номер может быть только натуральным числом: $n = 1, 2, 3, \ldots$. Коротко последовательность обозначают $(a_n)$.

Последовательность с конечным числом членов называется конечной, с бесконечным — бесконечной. Например, возрастающая последовательность двузначных чисел $10, 11, \ldots, 99$ конечна, а последовательность чётных натуральных чисел $2, 4, 6, \ldots$ бесконечна. График последовательности состоит из отдельных точек, так как $n$ принимает только натуральные значения.

1. Формулой $n$-го члена. Формула позволяет сразу вычислить любой член по его номеру. Например, для $a_n = \frac{n}{n + 1}$ имеем $a_1 = \frac{1}{2}$, $a_2 = \frac{2}{3}$, $a_{10} = \frac{10}{11}$.

2. Рекуррентной формулой. Задают один или несколько первых членов и правило, по которому следующий член выражается через предыдущие. Например, $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n - 1$: $a_2 = 5$, $a_3 = 14$, $a_4 = 41$. Последовательность Фибоначчи: $a_1 = a_2 = 1$, $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$, то есть $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$. Чтобы найти далёкий член по рекуррентной формуле, нужно последовательно вычислить все члены перед ним.

3. Словесным описанием. Например, «возрастающая последовательность простых чисел»: $2, 3, 5, 7, 11, \ldots$. Простой формулы $n$-го члена для неё нет, но правило понятно.

Найти член. Подставляем номер вместо $n$: для $a_n = n^2 - 3n$ получаем $a_5 = 25 - 15 = 10$.

Является ли число членом? Решаем уравнение $a_n = b$. Если корень натуральный, то $b$ — член последовательности, а корень — его номер; если нет, $b$ членом не является. Например, для $a_n = 3n - 2$ из уравнения $3n - 2 = 100$ получаем $n = 34$: число 100 — тридцать четвёртый член. А из $3n - 2 = 50$ получаем $n = \frac{52}{3}$, значит, 50 не является членом.

Сколько членов удовлетворяют условию. Составляем неравенство и считаем его натуральные решения. Для положительных членов последовательности $a_n = 50 - 3n$: $50 - 3n > 0$, $n < \frac{50}{3}$, то есть $n = 1, 2, \ldots, 16$ — всего 16 членов.

Найти формулу по первым членам. Ищи, как каждый член зависит от своего номера: для $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \ldots$ подходит $a_n = \frac{n}{n + 1}$; для $1, 4, 9, 16, \ldots$ подходит $a_n = n^2$.