Предел числовой последовательности

Рассмотрим последовательность $a_n = \frac{1}{n}$: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{100}, \ldots$. Её члены всё ближе к нулю: при $n > 100$ имеем $a_n < 0{,}01$, при $n > 1000$ имеем $a_n < 0{,}001$ и т. д.

Определение. Число $A$ называется пределом последовательности $(a_n)$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся номер $N$ такой, что при всех $n > N$ выполняется $|a_n - A| < \varepsilon$. Пишут $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$.

Геометрический смысл: в любую окрестность $(A - \varepsilon; A + \varepsilon)$ точки $A$ попадают все члены последовательности, начиная с некоторого номера, а вне окрестности остаётся лишь конечное число членов.

Например, для $a_n = \frac{n + 1}{n}$ имеем $|a_n - 1| = \frac{1}{n}$. Неравенство $|a_n - 1| < 0{,}01$ выполняется при $n > 100$, то есть начиная со 101-го члена все члены отличаются от 1 меньше чем на 0,01. Значит, предел этой последовательности равен 1.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела — расходящейся.

• $a_n = (-1)^n$: члены $-1, 1, -1, 1, \ldots$ чередуются и ни к какому числу не приближаются, предела нет.
• $a_n = n^2$: члены неограниченно растут, конечного предела нет (пишут $a_n \to \infty$).
• $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$: знаки членов чередуются, но сами члены приближаются к нулю, предел равен 0.

Полезные факты:

• сходящаяся последовательность имеет только один предел и ограничена; обратное неверно: $(-1)^n$ ограничена, но не сходится;
• монотонная ограниченная последовательность имеет предел (теорема Вейерштрасса). Например, последовательность $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ возрастает и ограничена, её предел равен числу $e \approx 2{,}718$.

Чаще всего используются пределы:

• $\lim\limits_{n \to \infty} C = C$ (постоянная последовательность);
• $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0$, где $k > 0$;
• $\lim\limits_{n \to \infty} q^n = 0$, где $|q| < 1$.

Если $\lim a_n = A$ и $\lim b_n = B$, то:

• $\lim (a_n \pm b_n) = A \pm B$;
• $\lim (a_n \cdot b_n) = A \cdot B$, в частности $\lim (c \cdot a_n) = c \cdot A$;
• $\lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}$, если $B \ne 0$ и все $b_n \ne 0$.

Эти свойства применяются только тогда, когда обе последовательности сходятся. В выражении $\frac{n^2 + 1}{n^2}$ и числитель, и знаменатель неограниченно растут, поэтому сначала выражение преобразуют: $1 + \frac{1}{n^2} \to 1$.

В отношении многочленов от $n$ делим числитель и знаменатель на старшую степень $n$, а затем пользуемся тем, что $\frac{c}{n^k} \to 0$:

Отсюда короткое правило:

Например, разделив числитель и знаменатель дроби $\frac{n^2 + 1}{n + 1}$ на $n$, получим $\frac{n + \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}}$: числитель неограниченно растёт, а знаменатель стремится к 1, поэтому конечного предела нет.

В выражениях со степенями делим на степень с наибольшим основанием: $\frac{2^n + 3^n}{3^n} = \left(\frac{2}{3}\right)^n + 1 \to 1$.