Смысл предела

Если при приближении аргумента $x$ к числу $a$ ( $x \neq a$ ) значения $f(x)$ сколь угодно близко приближаются к числу $L$ , то $L$ называется пределом функции $f(x)$ в точке $a$ :

\lim_{x \to a} f(x) = L.

Строгое определение: для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ такое, что при $0 < |x - a| < \delta$ выполняется $|f(x) - L| < \varepsilon$ .

Важно: предел не зависит от значения функции в самой точке $a$ , функция там может быть даже не определена. Например, $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ не определена при $x = 1$ , но при $x \neq 1$ имеем $f(x) = x + 1$ , поэтому $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$ .

Односторонние пределы

Если $x$ приближается к $a$ только слева ( $x < a$ ), получаем левый предел $\lim_{x \to a - 0} f(x)$ ; если только справа ( $x > a$ ), получаем правый предел $\lim_{x \to a + 0} f(x)$ . Предел существует тогда и только тогда, когда оба односторонних предела существуют и равны.

Например, для $f(x) = \frac{|x|}{x}$ при $x < 0$ имеем $f(x) = -1$ , а при $x > 0$ имеем $f(x) = 1$ . Левый предел равен $-1$ , правый равен $1$ . Они различны, поэтому $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ не существует.

Свойства пределов и подстановка

Если существуют $\lim f(x)$ и $\lim g(x)$ , то:

$\lim (f \pm g) = \lim f \pm \lim g$ ;
$\lim (f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g$ , $\lim (c \cdot f) = c \cdot \lim f$ ;
$\lim \frac{f}{g} = \frac{\lim f}{\lim g}$ , если $\lim g \neq 0$ .

Многочлены, дробно-рациональные функции, функции с корнями, показательные и тригонометрические функции непрерывны в точках своей области определения. Поэтому в такой точке предел находят простой подстановкой $x = a$ : $\lim_{x \to 2}(x^3 - 3x) = 8 - 6 = 2$ .

Неопределённость 0/0

Если подстановка даёт $\frac{0}{0}$ , ответ сразу не ясен: выражение нужно упростить:

разложить на множители и сократить: $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6$ ;
умножить на сопряжённое выражение (если есть корни):

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(x + 4) - 4}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2} = \frac{1}{4}.

Если подстановка даёт $\frac{c}{0}$ ( $c \neq 0$ ), конечного предела нет. Пределы вроде $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ изучаются отдельно, в теме о замечательных пределах.

Предел на бесконечности

При $x \to \infty$ имеем $\frac{1}{x} \to 0$ , и вообще $\frac{c}{x^n} \to 0$ ( $n \in \mathbb{N}$ ). Если у дробно-рациональной функции получается $\frac{\infty}{\infty}$ , делим числитель и знаменатель на старшую степень $x$ . Отсюда правило:

если степени числителя и знаменателя равны, предел равен отношению старших коэффициентов;
если степень числителя меньше, предел равен $0$ ;
если степень числителя больше, конечного предела нет.

Например, $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 5}{x^2 - 3x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{5}{x^2}}{1 - \frac{3}{x}} = 2$ .

Запомните

Предел при $x \to a$ — это число, к которому приближаются значения $f(x)$ ; значение $f(a)$ на предел не влияет.
Предел существует $\Leftrightarrow$ левый и правый пределы существуют и равны.
Для непрерывной функции предел находят подстановкой: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .
При неопределённости $\frac{0}{0}$ раскладывайте на множители и сокращайте или умножайте на сопряжённое выражение.
Дробно-рациональная функция при $x \to \infty$ : при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов; если степень числителя меньше, предел равен $0$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Вычислите $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}$ .
Решение
Подстановка $x = 2$ даёт $\frac{4 - 10 + 6}{4 - 4} = \frac{0}{0}$ . Раскладываем числитель и знаменатель на множители:

$\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} = \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 3}{x + 2},$ $x \neq 2.$

Теперь можно подставить:

$\lim_{x \to 2} \frac{x - 3}{x + 2} = \frac{2 - 3}{2 + 2} = -\frac{1}{4}.$

Ответ: $-\frac{1}{4}$ .
Пример 2
Вычислите $\lim\limits_{x \to 5} \frac{\sqrt{x + 4} - 3}{x - 5}$ .
Решение
Подстановка даёт $\frac{\sqrt{9} - 3}{0} = \frac{0}{0}$ . Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt{x + 4} + 3$ :

$\frac{(\sqrt{x + 4} - 3)(\sqrt{x + 4} + 3)}{(x - 5)(\sqrt{x + 4} + 3)} = \frac{x + 4 - 9}{(x - 5)(\sqrt{x + 4} + 3)} = \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 3}.$

Тогда

$\lim_{x \to 5} \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 3} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}.$

Ответ: $\frac{1}{6}$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Вычислите $\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}$ .
1. $0$
2. $1$
3. $2$
4. $3$
5. $4$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: E $4$
Подстановка даёт $\frac{0}{0}$ . $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$ , после сокращения $\lim_{x \to 1}(x + 3) = 4$ .
Вычислите $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{4x^3 - 2x}{2x^3 + 7x^2 - 1}$ .
1. $0$
2. $1$
3. $2$
4. $4$
5. $\infty$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $2$
Степени числителя и знаменателя равны (обе равны $3$ ). Предел равен отношению старших коэффициентов: $\frac{4}{2} = 2$ .
Вычислите $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}$ .
1. $-1$
2. $0$
3. $\frac{1}{2}$
4. $1$
5. $2$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $1$
Умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}$ . Числитель становится $(1 + x) - (1 - x) = 2x$ : $\frac{2x}{x(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})} = \frac{2}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}} \to \frac{2}{1 + 1} = 1$ .

Типичные ошибки

Получив $\frac{0}{0}$ , пишут в ответ $0$ или «предела нет». $\frac{0}{0}$ — это неопределённость, выражение нужно упростить.
Считают, что если функция не определена в точке $x = a$ , то и предела нет. Предел зависит только от значений в точках, близких к $a$ .
При $x \to \infty$ делят старшие коэффициенты, даже когда степени разные. Например, $\lim_{x \to \infty} \frac{3x}{x^2 + 1}$ равен $0$ , а не $3$ .

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото